Izvorni kod stranice Beskonačnost

{{drugo značenje2|Beskonačno}}
[[Datoteka:Infinity symbol.svg|mini|desno|250p|Znak za beskonačno u raznim fontovima.]]
'''Beskonačnost''' (simbol: <math>\infty</math>) je bitan pojam u [[matematika|matematici]], [[filozofija|filozofiji]] i [[teologija|teologiji]]. Ovaj pojam nije iskustven, jer ga nije moguće videti, opipati ili na bilo koji čulni način spoznati; on se obrađuje isključivo misaonim metodama.

U filozofiji, beskonačno je ono što je neoganičeno, što ide izvan bilo koje utvrđene granice.<ref name="Oksfordski filozofski rečnik">Beskonačnost, Oksfordski filozofski rečnik, Sajmon Blekburn, Svetovi. {{page1|publisher=|location=Novi Sad|year=1999|isbn=978-86-7047-303-4|pages=}}</ref> U filozofiji, beskonačno je ono što je bez početka i svršetka, čemu se ne mogu odrediti granice, niti se može umski do kraja shvatiti. U teologiji, beskonačnost je temeljna oznaka vrhovnog bića ([[bog]]a), za razliku od stvorenih [[biće|bića]] koja su nužno konačna i ograničena.

Beskonačnost je jedan od „težih“ pojmova [[Filozofija|filozofije]], ali u matematici pojam nije tako spekulativan.<ref>{{harvnb|O'Flaherty|1986|pp=243}}</ref> Nešto što je beskonačno mora biti u [[relacija (matematika)|relaciji]] poretka, ne sme biti konačno i ne sme biti kontradiktorno. U matematici, [[Beskonačnost (matematika)|beskonačno]] se tretira kao [[broj]] (tj. njime se broje ili mere stvari: „beskonačan broj pojmova”) ali to nije ista vrsta broja kao [[prirodan broj|prirodni]] ili [[realan broj|realni]] broj. U matematici je to količina koja nije konačna.

U matematici danas postoje dve vrste beskonačnosti: ''potencijalna'' i ''aktuelna''. Potencijalnu beskonačnost su uveli u matematiku [[Isak Njutn|Njutn]] i [[Gotfrid Vilhelm Lajbnic|Lajbnic]] kada su otkrili [[infinitezimalni račun]], a aktuelnu [[Georg Kantor|Kantor]] i [[Richard Dedekind|Dedekind]] sa otkrićem [[teorija skupova|teorije skupova]].

Kada se govori o beskonačnosti vremena, upotrebljava se izraz [[večnost]].<ref>{{harvnb|Toker|1989|pp=159}}</ref>

== Razvoj ==
[[Datoteka:Ouroboros.png|mini|desno|[[Urobor]]os, simbol beskonačnosti u [[alhemija|alhemiji]].]]

=== Antika ===

Još u drevnoj Indiji je razrađen pojam beskonačnosti. [[Đainizam|Đainska]] matematika poznaje 5 različitih vrsta beskonačnosti: beskonačno u jednom pravcu, beskonačno u dva pravca, beskonačno u površi, beskonačno svuda i ponavljajuće beskonačno.<ref>John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathematics'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081220145242/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=2008-12-20 }}</ref> S druge strane, Buda je tvrdio da je pitanje o konačnosti ili beskonačnosti sveta [[nemislivo]], i ne vodi oslobođenju od [[Patnja (budizam)|patnje]].

Istraživanje beskonačnosti u staroj Grčkoj ide unazad barem do [[Zenon iz Eleje|Zenona iz Eleje]], a matematički pristup počinje sa [[Eudoks iz Knida|Eudoksom iz Knida]] (4. vek p. n. e.). [[Aristotel]] je prvi uveo razlikovanje potencijalno i aktuelno beskonačnog. U Fizici on definiše beskonačno na sledeći način: "Količina je beskonačna ako je takva da uvek možemo uzeti deo pored onog što smo već uzeli."<ref name="Philosophy and the infinite">[https://web.archive.org/web/20091027002453/http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Phil-Infinity.htm Philosophy and the infinite]</ref> Prema Aristotelu, beskonačno je uvek potencijal, nikada aktualnost, a sastoji se u procesu postajanja, kao vreme i broj ponavljanja.<ref name="Philosophy and the infinite"/> Aristotel je takođe promišljao pojam [[kontinuum]]a koji se, po njemu, ne sastoji od nedeljivih elemenata, već od delova koji su beskonačno deljivi.<ref name="Philosophy and the infinite"/>

=== Srednji vek ===

Srednjovekovni filozof [[Toma Akvinski]] je smatrao da samo "matematičko telo" može biti beskrajno deljivo. U fizičkom kontinuumu dolazimo do minimalne količine materije neophodne da podrži dati oblik.<ref name="Philosophy and the infinite"/>

[[Duns Skot]] zaključuje da je pojam o apsolutno beskonačnom biću najjednostavniji i najsavršeniji pojam boga koji možemo stvoriti. To je najsavršeniji pojam, jer beskonačno biće uključuje beskonačnu istinu, beskonačnu dobrotu i svako drugo savršenstvo kompatibilno s beskonačnošću.<ref>Frederik Koplston, Srednjovekovna filozofija (str. 511), Beograd, 1989.</ref>

=== Novi vek ===

[[Galileo]] je primetio paradoks beskonačnosti [[1638]]. godine. Po njemu, izgleda da [[Kvadrat (algebra)|kvadrata]] (0, 1, 4, 9, 16....) ima jednako koliko i [[Prirodni brojevi|prirodnih brojeva]], koji uključuju i kvadrate. Kako je to moguće? Zato što ih je moguće staviti u odnos jedan na jedan. Svaki prirodan broj ima svoj kvadrat, i svaki kvadrat ima određen prirodan broj kao svoj koren. Dakle, svaki član jednog niza ima jedinstvenog parnjaka u drugom nizu, i obratno.<ref name="Suber">{{Cite web |title=Peter Suber, Infinite Reflections |url=http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm |access-date=2020-07-16 |archivedate=2009-11-05 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091105182928/http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm |deadurl=yes }}</ref> Ovo je naizgled paradoks, jer se protivi intuiciji vezanoj za konačne brojeve, ali nema kontradikcije, što je kasnije pokazao [[Georg Cantor|Kantor]].<ref name="Suber"/>

Prema [[Spinoza|Spinozi]], apsolutno beskrajna supstancija je nedeljiva. Jer, kad bi bila deljiva, onda ili bi delovi zadržavali prirodu beskrajne supstance, ili ne bi. Ako bi, onda bi se dobilo više supstancija iste prirode, što je besmisleno. Ako ne bi, apsolutno beskrajna supstanca bi prestala postojati, što je takođe besmisleno.<ref>Spinoza, Etika (str. 14), Beograd, 1983.</ref>

[[Gottfried Leibniz|Leibniz]] je zastupao ideju da je univerzum sačinjen od bezbroj nedeljivih, nematerijalnih [[monada]], od kojih je najviša bog.<ref name="Philosophy and the infinite"/>

[[David Hume]] je dokazivao da je sposobnost uma ograničena i da je nemoguće postići potpuno i adekvatno poimanje beskonačnosti. Naša predstava o nečemu nije beskonačno deljiva, već ona dostiže određeni minimum, nakon čega potpodelu više nije moguće zamisliti. Na primer, kada se govori o hiljaditom ili deset hiljaditom delu zrna peska, iako imamo jasnu predstavu tih brojeva, slika koja se obrazuje u umu ne razlikuje se nimalo od jednog zrna peska. Dakle, predstava zrna peska nije razdeljiva.<ref>Dejvid Hjum, Rasprava o ljudskoj prirodi (str. 38), Sarajevo, 1983.</ref>

U filozofiji [[prostor]]a i [[vreme]]na problemi se pojavljuju sa beskrajno malom i sa beskrajno velikom ili neograničenom prirodom. [[Imanuel Kant|Kant]] je u antinomijama tvrdio da je nemoguće konzistentno posmatranje prostora ili vremena kao konačnog ili beskonačnog, a to je ključni element u njegovoj idealističkoj teoriji vremena i prostora kao nametnutih nepoznatoj prirodi od strane naših formi čulnosti.<ref name="Oksfordski filozofski rečnik"/>

{{izdvojeni citat|Pri imenu beskonačnoga duši i duhu puca pred očima, jer duh u njemu nije samo apstraktno pri sebi, već se uzdiže do sebe sama, do svetlosti svoga mišljenja, svoje opštosti, svoje slobode.<ref name="Hegel 1976">Hegel, Nauka logike 1 (str. 136), Beograd, 1976.</ref>|Hegel}}

Prema [[Hegel]]u, besmislena je tvrdnja da je um nesposoban da sazna beskonačno. Pošto ono beskonačno jeste ono umno, "zaista je čudnovat rezultat reći da je um nesposoban da sazna ono što je umno".<ref>Hegel, Nauka logike 1 (str. 59), Beograd, 1976.</ref> Ono što je beskonačno može se u jednostavnom pojmu smatrati novom definicijom onoga što je [[apsolut]]no. Beskonačno jeste negacija negacije, ono što je afirmativno, [[biće]] koje se iz ograničenosti ponovo uspostavilo. Beskonačno jeste istinsko biće, uzdizanje iz ograničenosti.<ref name="Hegel 1976">Hegel, Nauka logike 1 (str. 136), Beograd, 1976.</ref> Ako se konačno uzdiže u beskonačnost, nije to neka tuđa sila koja mu to nameće, već njegova priroda. Konačno je po prirodi takvo da postaje beskonačno. Beskonačnost je njegova afirmativna odredba, to što ono zaista jeste po sebi.<ref>Hegel, Nauka logike 1 (str. 137), Beograd, 1976.</ref>

=== Savremeni period ===

Krajem [[19. vek]]a, [[Georg Kantor]] je u matematiku uveo pojam [[kardinalnost]]i, za ispitivanje [[beskonačni skup|beskonačnih skupova]]. Po njemu, dva skupa koja je moguće staviti u odnos jedan-na-jedan imaju jednaku kardinalnost, odnosno isti broj članova. Po tom kriteriju, moguće je da [[podskup]] beskonačnog skupa bude iste veličine kao sam skup, što kod konačnih skupova nije moguće.<ref name="Suber"/> U teoriji koju je on razvio, postoje beskonačni skupovi različitih veličina.<ref>{{Cite book|title=The Princeton Companion to Mathematics|first=Timothy|last=Gowers|first2=June|last2=Barrow-Green|first3=Imre|last3=Leader|publisher=Princeton University Press|year=2008|isbn=978-0-691-11880-2
|pages=616|url=https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160603163923/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|archivedate=03. 06. 2016.|df=
}} [https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 Extract of pp. 616] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160501221357/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 |date=01. 05. 2016. }}</ref> Na primer, skup [[Ceo broj|celih brojeva]] je [[Prebrojiv skup|prebrojivo beskonačan]], dok je beskonačni skup realnih brojeva [[Neprebrojiv skup|neprebrojiv]].<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113 –117}}</ref> Kantorova teorija je izazvala veliko protivljenje matematičara, filozofa i teologa tog vremena, ali je niko nije mogao pobiti.<ref name="Suber"/>

[[Bertrand Russell]] je smatrao da filozofi koji su poricali postojanje beskonačnih brojeva su prosto brkali termine: oni nisu razumeli razliku između konačnih i beskonačnih brojeva. Za konačne brojeve važi zakon [[Matematička indukcija|matematičke indukcije]], dok za beskonačne ne. Popularno shvatanje da se svaki broj može dostići idući od 0 uzastopnim koracima, ne važi za beskonačne brojeve.<ref name="Philosophy and the infinite"/>

== Povezano ==
* [[Večnost]]
* [[Rekurzija]]
* [[Beskonačna petlja]]
* [[Mandelbrotov skup]]
* [[Fraktal]]

== Izvori ==
{{reflist|30em}}

== Literatura ==
* {{Cite book| ref=harv |first=Randall B.|last=Maddox|title = Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics| url=https://archive.org/details/mathematicalthin0000madd |publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-464976-7|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv|title=Dreams, Illusion, and Other Realities|first=Wendy Doniger|last=O'Flaherty|publisher=University of Chicago Press|year=1986|isbn=9780226618555|url=https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160629143323/https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|archivedate = 29. 6. 2016.|df=|pages=243}}
* {{Cite book| ref=harv|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures|last=Toker|first=Leona|publisher=Cornell University Press|year=1989|isbn=9780801422119|url=https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160509095701/https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|archivedate=09. 05. 2016.|df=|pages=159}}
* {{Cite book| ref=harv |last=Weyl|first=Hermann|title = Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy| url=https://archive.org/details/levelsofinfinity0000weyl | editor-last = Pesic | editor-first = Peter |year=2012|publisher=Dover|isbn=978-0-486-48903-2|pages=[https://archive.org/details/levelsofinfinity0000weyl/page/17 17]}}
* {{Cite book| ref=harv |title = The Princeton Companion to Mathematics|first=Timothy|last=Gowers|first2=June|last2=Barrow-Green|first3=Imre|last3=Leader|publisher=Princeton University Press|year=2008|isbn=978-0-691-11880-2|url=https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160603163923/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|archivedate=03. 06. 2016.|df=| pages = 616}} [https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 Extract of pp. 616] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160501221357/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 |date=01. 05. 2016. }}

== Vanjske veze ==
{{Commonscat|Infinity}}

* ''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm Infinite Reflections] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091105182928/http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm |date=2009-11-05 }}''
* John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathematics'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081220145242/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=2008-12-20 }}
* [https://web.archive.org/web/20091027002453/http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Phil-Infinity.htm Philosophy and the infinite]
* [https://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity]

{{filozofija}}

{{normativna kontrola}}

<!--[[Kategorija:Beskonačnost| ]]
-->[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Fizika]]
[[Kategorija:Filozofska terminologija]]
[[Kategorija:Teologija]]