Izvorni kod stranice Brzina

'''Brzina''' ({{jez-en|velocity}}; SI oznaka — <math>\boldsymbol{\vec{v}}</math>) je prvi izvod [[vektor pomeraja|vektora položaja]] materijalne tačke, čestice, ili tela u [[prostor]]u po vremenu. Predstavlja važan koncept u [[kinematika|kinematici]] (jednoj od grana [[klasična mehanika|klasične mehanike]]), koja opisuje samo ''kako'' se tela kreću, ne razmatrajući ''zašto'', od. uzrok kretanja tela (čime se bavi [[Dinamika (fizika)|dinamika]]).

Brzina je [[vektor]]ska [[fizička veličina]]: definisana je i intenzitetom/jačinom/magnitudom i smerom. [[Apsolutna vrednost]] brzine predstavlja njenu [[Skalar (matematika)|skalarnu]] vrednost, tj. intenzitet; ovaj intenzitet se naziva ''trenutnom putnom brzinom'' ({{jez-en|instantaneous speed}}) — fizička veličina čija je [[SI]] jedinica [[metar u sekundi]] (oznaka: m/s ili m&middot;s<sup>−1</sup>). Na primer, ako se kaže samo „5 metara u sekundi” dobija se vrednost [[Skalar (matematika)|skalara]] (ne vektora), dok „5 metara u sekundi istočno” označava [[vektor]].

Ukoliko postoji promena intenziteta i/ili smera brzine, za [[materijalna tačka|materijalnu tačku]] koje podleže takvim promenama se kaže da je podvrgnuta ''[[ubrzanje|ubrzanju]]'' i da se kreće ''neravnomerno'' (neravnomernom/promenljivom brzinom).

== Terminologija ==
Pojam ''brzina'' u najširem smislu označava promenu neke veličine u jedinici vremena. U užem smislu (u fizici), brzina je prvi izvod vektora položaja materijalne tačke po vremenu. Dakle, ako se ne naglasi tačno o kojoj veličini se radi, podrazumeva se da je u pitanju [[fizička veličina]].

Međutim, pojam ''brzine'' može da se definiše za svaku promenu tokom vremena i tada treba da se naglasi na koji se proces — ili veličinu — posmatrana brzina odnosi. Na primer: brzina [[hemijska reakcija|hemijske reakcije]] označava koliko se menja [[koncentracija]] [[reaktant|reaktanata]] ili [[Produkt (hemija)|produkata]] u jedinici vremena; brzina radioaktivnog raspada (npr. [[alfa-raspad]]) označava koliki se broj [[atomsko jezgro|atomskih jezgara]] raspadne u jedinici vremena itd.

Kada se u fizici kaže samo ''brzina'' ({{jez-en|velocity}}) misli se isključivo na ''trenutnu brzinu'' ({{jez-en|instantaneous velocity}}), dok se za samu ''trenutnu brzinu'', te ''srednju brzinu'' ({{jez-en|average velocity}}), ''trenutnu putnu brzinu'' ({{jez-en|instantaneous speed}}), ''srednju putnu brzinu'' ({{jez-en|average speed}}) i dr. moraju koristiti puni nazivi kako bi se ti pojmovi sa apsolutno različitim značenjima razlikovali. U kolokvijalnom govoru se za prethodno spomenute nazive uglavnom kaže samo — ''brzina'', ili se isti pogrešno koriste kao [[sinonim]]i (slično kao i sa pojmovima ''[[masa]]'' i ''[[težina]]'').

== Konstantna brzina ==
[[Materijalna tačka]] se na vremenskom intervalu <math>\Delta t=\left [ t_1, t_2 \right ]</math> kreće konstantnom brzinom <math>\boldsymbol{v_{const.}}</math> ukoliko se niti intenzitet niti smer te brzine tokom intervala, od. između trenutaka <math>t_1</math> i <math>t_2</math>, ne menjaju, tj. ukoliko se „kreće trenutnom brzinom” koja je za sve trenutke intervala jednaka (ima isti intenzitet i smer).

=== Konstantna brzina ili ubrzanje ===
Da bi telo u određenom vremenskom intervalu imalo konstantnu brzinu, mora imati konstantnu trenutnu putnu brzinu i kretati se u konstantnom smeru. Konstantan smer uslovljava telo na pravolinijsko kretanje (telo ne skreće, kreće se po jednom pravcu). Time se telo u određenom vremenskom intervalu kreće konstantnom brzinom samo ako je u tom intervalu kretanje po pravoj liniji i ako se trenutna putna brzina tokom intervala ne menja (jednaka je srednjoj putnoj brzini).

Na primer, automobil koji se kreće „konstantnom brzinom” od 20 kilometara na sat po kružnoj putanji može da ima konstantnu samo trenutnu putnu brzinu (jednaku srednjoj putnoj brzini), ali ne i trenutnu brzinu, jer se smer kretanja tokom obilaska kružnice menja (i to konstantno). Time se može zaključiti da se automobil ustvari ne kreće konstantnom brzinom već je podvrgnut ubrzanju ([[ubrzanje|centripetalno ubrzanje]]) iako je trenutna putna brzina tokom kretanja bila konstantna.

== Trenutna brzina i trenutna putna brzina ==
=== Trenutna brzina ===
Trenutna brzina <math>\boldsymbol{\vec{v}}</math> je srednja brzina tokom beskonačno malog vremenskog intervala. Jednaka je prvom izvodu [[vektor položaja|vektora položaja]] (ne [[vektor pomeraja|vektora pomeraja]]) materijalne tačke po vremenu:

:<math>\boldsymbol{\vec{v}} = \frac{d\boldsymbol{\vec{r}}}{d\mathit{t}},</math>

gde je <math>\boldsymbol{\vec{v}}</math> trenutna brzina u trenutku <math>\mathit{t}</math> i <math>\boldsymbol{\vec{r}}</math> vektor položaja materijalne tačke u tom istom trenutku. Ova relacija definiše trenutnu brzinu [[materijalna tačka|materijalne tačke]], čestice, ili tela, u bilo kojem određenom trenutku. Kako se koncept trenutne brzine na prvi pogled čini pomalo ''neintuitivnim'', najbolje ga je razumeti tako da označava brzinu kojom bi se materijalna tačka koje ubrzava nastavila kretati ukoliko joj brzina u određenom trenutku postane konstantna.

=== Trenutna putna brzina ===
Trenutna putna brzina (veoma retko ''u upotrebi'') <math>\boldsymbol{v}_{pt.}</math> je jednaka [[apsolutna vrednost|apsolutnoj vrednosti]], od. intenzitetu trenutne brzine (prvog izvoda [[vektor položaja|vektora položaja]] po vremenu), zato što pređeni put i intenzitet [[vektor pomeraja|vektora pomeraja]] (kada isti teže u nulu) postaju jednaki:

:<math>\boldsymbol{v}_{pt.}=\left|\boldsymbol{\vec{v}}\,\right\vert=\left|\frac{d\boldsymbol{\vec{r}}}{d\mathit{t}}\right\vert=\frac{d}{d\mathit{t}} \left [ \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{\hat{r}} \right ] = \frac{d\boldsymbol{r}}{d\mathit{t}}.</math>

Trenutna putna brzina se može smatrati nagibom/gradijentom [[tangenta|tangente]] na [[parabola|parabolu]] grafika zavisnosti [[položaj]]a tela od vremena (''r''-''t'' grafik):

:<math>\boldsymbol{v}_{pt.} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta \boldsymbol{r} \over \Delta t}.</math>

Kako je koeficijent <math>k_{f(x)}</math> nagiba [[tangenta|tangente]] na grafik funkcije <math>f(x)</math> nultog ili prvog stepena ([[linearna funkcija|linearne funkcije]]) — na liniju — nagib te linije, isti se može posmatrati i kao nagib [[duž]]i ograničene dvema tačkama koordinata (<math>x_1</math>, <math>f(x_1)</math>) i <br />(<math>x_2</math>, <math>f(x_2)</math>), i jednak je:

:<math>k_{f(x)} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},</math>

tako je koeficijent <math>l_{f'(x)}</math> nagiba tangente na grafik funkcije <math>f'(x)</math> drugog ili višeg stepena ([[kvadratna jednačina|kvadratne]], kubne i dr. funkcije) — na [[parabola|parabolu]] — u tački koordinata (<math>x</math>, <math>f'(x)</math>) jednak:

:<math>l_{f'(x)} = \lim_{\Delta x \to 0}{f'(x + \Delta x) - f'(x) \over \Delta x}.</math>

Ako se za primer uzme [[Funkcija (matematika)|funkcija]] <math>r(t)=t^3+2t</math> nagib <math>l_{r(t)}</math> bi bio:

:<math>l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{(t+\Delta t)^3+2(t+\Delta t)-(t^3+2t) \over \Delta t}</math>
:<math>l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{t^3+3t^2\Delta t+3t{\Delta t}^2+{\Delta t}^3+2t+2\Delta t-t^3-2t \over \Delta t}</math>
:<math>l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{3t^2\Delta t+3t{\Delta t}^2+{\Delta t}^3+2\Delta t \over \Delta t}</math>
:<math>l_{r(t)} = \lim_{\Delta t \to 0}{3t^2+3t\Delta t+{\Delta t}^2+2}</math>
:<math>l_{r(t)} = 3t^2+2.</math>

Dobijeno rešenje <math>l_{r(t)} = 3t^2+2</math>&nbsp;&nbsp;je ustvari trenutna putna brzina tela (ne uzimajući u obzir merne jedinice) čiji se položaj u zavisnosti od vremena menja kao <math>r(t)=t^3+2t</math>, u trenutku <math>t</math>, i predstavlja [[izvod]] funkcije položaja tog tela u zavisnosti od vremena upravo po vremenu <math>t</math>, što bi se — ako u obzir uzmemo i merne jedinice — moglo izraziti kao:

:<math>v_{pt.} = \frac{d}{d\mathit{t}} \left [ r(t) \right ] = \frac{d}{d\mathit{t}} \left [ t^3\,\mathrm{ms^{-3}}+2t\,\mathrm{ms^{-1}} \right ] = 3t^2\,\mathrm{ms^{-3}}+2 \cdot 1t^0\,\mathrm{ms^{-1}} = 3t^2\,\mathrm{ms^{-3}}+2\,\mathrm{ms^{-1}} = l_{r(t)}.</math>

==== Razlika između trenutne brzine i trenutne putne brzine ====
Trenutna putna brzina opisuje koliko brzo telo menja svoj [[položaj]] u određenom trenutku nezavisno od smera kretanja, dok trenutna brzina opisuje koliko brzo telo menja svoj [[vektor položaja]] u određenom trenutku (daje i smer u kojem se promena vektora položaja dešava). Ukoliko se za automobl kaže da u određenom trenutku „putuje 60&nbsp;km/h”, time mu je određena samo trenutna putna brzina. S druge strane, ukoliko se kaže da automobil „putuje -{60&nbsp;km/h}- prema severu”, tada je definisana i trenutna brzina automobila i trenutna putna brzina.

== Srednja brzina i srednja putna brzina ==
=== Srednja brzina ===
Srednja brzina <math>\langle\boldsymbol{\vec{v}}\rangle</math> je konstantna brzina kojom bi [[materijalna tačka]] trebalo da se kreće da bi ostvarila isti [[pomeraj|vektor pomeraja]] kao kod kretanja promenljivom brzinom, u određenom (istom) vremenskom intervalu. Jednaka je količniku [[pomeraj|vektora pomeraja]] i proteklog vremena za koji je ostvaren:

:<math>\langle\boldsymbol{\vec{v}}\rangle = \frac{\Delta \boldsymbol{\vec{r}}}{\Delta t}.</math>

Srednja brzina na intervalu <math>\Delta t</math> se može smatrati tetivom između dveju tačaka sa -{''x''}--koordinatama <math>t_1</math> i <math>t_2</math> koje određuju granice intervala za koji se srednja brzina računa.

Bitna stvar za naglasiti je da se reč ''srednja'' ne meša sa pojmom ''srednja vrednost'' ili ''prosek'', jer ''srednja brzina'' <math>\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}</math> na intervalu <math>\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n</math> ne označava ''srednju vrednost srednje brzine'' <math>\boldsymbol{v}_{sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}</math> (''prosečnu srednju brzinu'') sa -{''n''}- vremenskih intervala, već označava količnik rezultujućeg vektora pomeraja <math>\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}</math> (na -{''n''}- prethodno spomenutih intervala) i jednog vremenskog intervala <math>\Delta t_u</math> (koji bi predstavljao zbir svih prethodno spomenutih -{''n''}- intervala). Do zabune može doći ukoliko se umesto naziva ''srednja brzina'' koristi naziv ''brzina''; tada bi ''srednja vrednost srednje brzine'' (''prosečna srednja brzina'') imala naziv ''srednja brzina'' (ili ''prosečna brzina''):

:<math>\boldsymbol{\vec{v}}_{sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1}+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_2}+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_n}}{n} = \frac{\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1}}{\Delta t_1}+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_2}}{\Delta t_2}+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_3}}{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_n}}{\Delta t_n}}{n}</math>

:<math>\boldsymbol{\vec{v}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}{\Delta t_u} = \frac{\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_1}+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_2}+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\boldsymbol{\vec{r}}_{\Delta t_n}}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}</math>

=== Srednja putna brzina ===
Srednja putna brzina (ili, mnogo češće, samo — putna brzina) <math>\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.}</math> je konstantna brzina kojom bi [[materijalna tačka]] trebalo da se kreće da bi prešla isti put kao kod kretanja promenljivom brzinom, u određenom (istom) vremenskom intervalu. Jednaka je količniku ukupnog [[pređeni put|pređenog puta]] i proteklog vremena za koji je pređen:

:<math>\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.} = \frac{\boldsymbol{s}_u}{\Delta t}.</math>

==== Razlika između srednje brzine i srednje putne brzine ====
Velika razlika između između srednje brzine i srednje putne brzine se može primetiti ako se u obzir uzme kretanje po [[kružnica|kružnici]]. Ukoliko se telo kreće po kružnici promenljivom trenutnom putnom brzinom (time je, automatski, uslovljena i promenljiva trenutna brzina (koja je kod kretanja po kružnici uvek promenljiva, što ne mora značiti da je istina i za trenutnu putnu brzinu, koja može biti konstantna ukoliko je jednaka srednjoj putnoj brzini (ukoliko je tangencijalno ubrzanje jednako 0), i koja predstavlja intenzitet trenutne brzine — [[Skalar (matematika)|skalar]] je)), te nakon određenog vremenskog intervala — nakon što napravi jedan obrtaj — vrati u svoj početni položaj njegova srednja brzina na tom intervalu je jednaka nuli (srednja brzina označava kojom konstantnom brzinom (i u kojem smeru) bi se telo trebalo kretati da ostvari isti [[pomeraj|vektor pomeraja]] kao kod kretanja promenljivom brzinom, na određenom (istom) vremenskom intervalu), dok se srednja putna brzina tela moža naći deljenjem obima kruga (ukupnog [[pređeni put|pređenog puta]]) sa dužinom vremenskog intervala (proteklim vremenom potrebnim da se ukupni put pređe). Ovo je tačno zato što se srednja brzina računa uzimajući u obzir razliku između krajnjeg i početnog [[vektor položaja|vektora položaja]] i ukupno vreme potrebno za promenu tog položaja, dok se za srednju putnu brzinu uzima ukupni [[pređeni put]] i potrebno vreme da se taj put pređe.

Srednja brzina je po intenzitetu uvek manja ili jednaka srednjoj putnoj brzini tela. Ovo se može ustvrdeti shvaćanjem da dok se [[pređeni put]] uvek striktno povećava, [[vektor pomeraja]] se može ili povećavati ili smanjivati.

Bitna stvar za naglasiti je da se reč ''srednja'' ne meša sa pojmom ''srednja vrednost'' ili ''prosek'', jer ''srednja putna brzina'' <math>\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}</math> na intervalu <math>\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n</math> ne označava ''srednju vrednost srednje putne brzine'' <math>\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.\,sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}</math> (''prosečnu srednju putnu brzinu'') sa -{''n''}- vremenskih intervala, već označava količnik ukupnog pređenog puta <math>\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}</math> (na -{''n''}- prethodno spomenutih intervala) i jednog vremenskog intervala <math>\Delta t_u</math> (koji bi predstavljao zbir svih prethodno spomenutih -{''n''}- intervala). Do zabune može doći ukoliko se umesto naziva ''srednja putna brzina'' koristi naziv ''putna brzina''; tada bi ''srednja vrednost srednje putne brzine'' (''prosečna srednja putna brzina'') imala naziv ''srednja putna brzina'' (ili ''prosečna putna brzina''):

:<math>\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt.\,sr._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1}}+\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_2}}+\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_3}}+\,\cdots\,\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_n}}}{n} = \frac{\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1}}}{\Delta t_1}+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_2}}}{\Delta t_2}+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_3}}}{\Delta t_3}+\,\cdots\,+\frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_n}}}{\Delta t_n}}{n}</math>

:<math>\langle\boldsymbol{v}\rangle_{pt._{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}} = \frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}}}{\Delta t_u} = \frac{\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_1}}+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_2}}+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_3}}+\,\cdots\,+\boldsymbol{s}_{u_{\Delta t_n}}}{\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3+\,\cdots\,+\Delta t_n}</math>

== Jednačine kretanja ==
=== Konstantno ubrzanje ===
U posebnim slučajevima sa konstantnim [[ubrzanje]]m, trenutna brzina <math>\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}</math> se može računati jednačinama kretanja. Uzimajući <math>\boldsymbol{\vec{a}}</math> za [[ubrzanje]] jednako nekom proizvoljnom konstantnom [[vektor]]u i <math>\boldsymbol{\vec{v}_0}</math> za početnu brzinu kretanja u trenutku <math>t_0=0</math> zavisnost trenutne brzine od vremena <math>t</math> je data kao:

:<math>\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t.</math>

Kombinovanjem ove jednačine sa opštom jednačinom zavisnosti [[vektor pomeraja|vektora pomeraja]] tela od vremena (uvrštavajući <math>\boldsymbol{\vec{a}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{t}</math> iz prethodne jednačine u istu):

:<math>\boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{r}_0} + \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}</math>

moguće je povezati vektor pomeraja i srednju brzinu kao:

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} + \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2} \sdot t = \langle\boldsymbol{\vec{v}}\,\rangle \sdot {t},</math>

koja je u ovom slučaju jednaka srednjoj vrednosti srednje brzine (proseku srednje brzine), od. srednjoj vrednosti (proseku) početne i krajnje brzine.

Takođe je moguće izvesti izraz za brzinu direktno nezavisan o vremenu i poznat pod imenom [[Toričelijeva jednačina]]:

:<math>\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^{2} = \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}\cdot\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} = (\boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t)\cdot(\boldsymbol{\vec{v}_0} + \boldsymbol{\vec{a}} \sdot t) = \boldsymbol{\vec{v}_0}^{2}+2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^{2} - \,\boldsymbol{\vec{v}_0}^{2} = 2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2}</math>

:<math>(2\boldsymbol{\vec{a}}) \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = (2\boldsymbol{\vec{a}}) \sdot (\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}) = 2 \sdot t \sdot (\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}) + \boldsymbol{\vec{a}}\,^{2} \sdot t^{2} = \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2</math>

:<math>\therefore \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 = \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 + 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}</math>

Ovo se može uraditi i na drugi način uzimajući <math>t=\frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}}</math> iz jednačine zavisnosti trenutne brzine od vremena i uvrštavanjem istog u opštu jednačinu zavisnosti [[vektor pomeraja|vektora pomeraja]] tela od vremena:

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot t + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot t^2}{2}</math>

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} - \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \left ( \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,\boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}}  \right ) ^2} {2}</math>

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{\boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{a}} \sdot \frac{ \left ( \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,\boldsymbol{\vec{v}_0} \right ) ^2} {\boldsymbol{\vec{a}}\,^2}}{2}</math>

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{\boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{\boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} -\,2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}\,+\,\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}} {\boldsymbol{\vec{a}}}}{2}</math>

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} - \frac{2 \sdot \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}} + \frac{\boldsymbol{\vec{v}_0} \sdot \boldsymbol{\vec{v}_0}}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}}</math>

:<math>\Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}} = \frac{\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2}{2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}}}</math>

:<math>\boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 - \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 = 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}</math>

:<math>\therefore \boldsymbol{\vec{v}_{(t)}}^2 = \boldsymbol{\vec{v}_0}^2 + 2 \sdot \boldsymbol{\vec{a}} \sdot \Delta \boldsymbol{\vec{r}_{(t)}}</math>

Gornje jednačine su validne i za [[klasična mehanika|klasičnu mehaniku]] i za [[specijalna relativnost|specijalnu relativnost]]. Ono gde se klasična mehanika i specijalna relativnost razlikuju je u tome kako različiti posmatrači opisuju jednu situaciju. Tačnije, u klasičnoj mehanici svi se posmatrači slažu u vrednosti vremena i transformacijskim pravilima vezanim za položaj što stvara situaciju u kojoj svi ne-ubrzavajući posmatrači opisuju ubrzanje tela istom vrednošću. Ovo je drugačije u specijalnoj relativnosti. Drugim rečima, moguće je izračunati samo relativnu brzinu.

== Veličine zavisne o brzini ==
[[Kinetička energija]] tela u pokretu zavisi od njegove brzine kao:

:<math>\boldsymbol{E_k} = \frac{m \sdot \boldsymbol{v}^2}{2},</math>

gde je <math>\boldsymbol{E_k}</math> kinetička energija tela mase <math>m</math> kada ima brzinu intenziteta <math>\boldsymbol{v}</math>. Kinetička energija je skalarna veličina jer zavisi od kvadrata brzine (tačkasti proizvod [[vektor]]a, ne vektorski, koji daje skalarnu veličinu).

Takođe vezana veličina [[impuls]] jeste vektor i definisana je kao:
 
:<math>\boldsymbol{p}=m \sdot \boldsymbol{v},</math>

gde je <math>\boldsymbol{p}</math> impuls tela mase <math>m</math> kada ima brzinu intenziteta <math>\boldsymbol{v}</math>.

U [[specijalna relativnost|specijalnoj relativnosti]], bezdimenzioni [[Lorencov faktor]] <math>\boldsymbol{\gamma}</math> se javlja dosta često, i dat je izrazom:
 
:<math>\boldsymbol{\gamma} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}}}</math>

gde je <math>c</math> [[brzina svetlosti]].

[[Druga kosmička brzina]] je minimalna brzina potrebna balističkom telu da napusti [[masa|masivno]] telo kao što je [[Zemlja]]. Predstavlja [[kinetička energija|kinetičku energiju]] koja, kada se nadoda na gravitacionu [[potencijalna energija|potencijalnu energiju]] tela (koja je uvek negativna) mora biti veća ili jednaka nuli. Generalna formula za [[Druga kosmička brzina|brzinu oslobađanja]] tela na udaljenosti <math>\boldsymbol{r}</math> od centra planeta mase <math>M</math> je:

:<math>\boldsymbol{v_2} = \sqrt{\frac{2 \sdot G \sdot M}{\boldsymbol{r}}},</math>

gde je <math>G</math> [[gravitaciona konstanta]]. Brzina oslobađanja sa površine Zemlje je oko 11 100 -{m&middot;s<sup>−1</sup>}-.

== Relativna brzina ==
'''Relativna brzina''' je mera brzine kretanja jednog tela u odnosu na drugo, određena u jednom [[koordinatni sistem|koordinatnom sistemu]]. Relativna brzina je jedan od temeljnih principa i u klasičnoj i u modernoj fizici, jer mnogi sistemi u fizici se susreću sa relativnim kretanjima dvaju ili više tela. U [[klasična mehanika|klasičnoj mehanici]], relativna brzina je nezavisna od odabira inercijalnog referentnog sistema. Ovo nije slučaj i u [[specijalna relativnost|specijalnoj relativnosti]] gde brzine zavise o odabiru referentnog sistema.

Ako se telo A kreće brzinom <math>\boldsymbol{\vec{v}}_A</math>, a telo -{B}- brzinom <math>\boldsymbol{\vec{v}}_B</math>, brzina tela A u odnosu na brzinu tela -{B}- (relativna brzina tela A i -{B}-) je definisana kao razlika vektora ovih dveju brzina:

:<math>\boldsymbol{\vec{v}}_{AB} = \boldsymbol{\vec{v}}_A - \boldsymbol{\vec{v}}_B.</math>

Slično, relativna brzina tela -{B}- koje se kreće brzinom <math>\boldsymbol{v}_B</math> u odnosu na telo A koje se kreće brzinom <math>\boldsymbol{v}_A</math> je:

:<math>\boldsymbol{\vec{v}}_{BA} = \boldsymbol{\vec{v}}_B - \boldsymbol{\vec{v}}_A.</math>

Najčešće se uzima inercijalni sistem u kojem kao da jedno telo miruje, dok se drugo kreće relativnom brzinom u odnosu na njega.

=== Skalari ===
U ''jednodimenzionalnom slučaju'', brzine se mogu razmatrati kao [[Skalar (matematika)|skalari]], a jednačine kretanja:

:<math>\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_A - \left(-\boldsymbol{v}_B\right),</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;ako se tela kreću u suprotnim smerovima, ili:
:<math>\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_A - \left(+\boldsymbol{v}_B\right),</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;ako se tela kreću u istom smeru.

== Polarne koordinate ==
Kod [[Polarni koordinatni sistem|polarnih koordinata]], dvodimenzionalna brzina se opisuje kao '''radijalna brzina''', definisana kao komponenta brzine ''od ishodišta'' ili ''prema ishodištu'' (takođe poznata i kao {{jez-en|velocity made good}}) ili [[ugaona brzina]] koja predstavlja prvi izvod [[vektor ugaonog položaja|vektora ugaonog položaja]] tela po vremenu (sa pozitivnim veličinama za smer suprotan smeru kazaljki na sati, i negativnim za smer jednak smeru kazaljki na sati, u sistemu [[desni zavrtanj|desnog zavrtnja]]).

Radijalna i ugaona brzina se mogu izvesti iz vektora brzine i [[vektor pomeraja|vektora pomeraja]] u [[Dekartov koordinatni sistem|DKS]]-u, rastavljanjem vektora brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu. '''Normalna brzina''' je komponenta brzine duž [[kružnica|kružnice]] usmerena ka njenom centru.

Ukupna brzina tela koje se kreće po kružnici je:

:<math>\boldsymbol{\vec{v}}=\boldsymbol{\vec{v}}_N+\boldsymbol{\vec{v}}_T,</math>

gde je <math>\boldsymbol{v}_N</math> normalna brzina, a <math>\boldsymbol{v}_T</math> tangencijalna brzina.

Intenzitet tangencijalne brzine je tačkasti proizvod vektora brzine i jediničnog vektora u smeru [[pomeraj]]a:

:<math>\boldsymbol{v}_T = \boldsymbol{\vec{v}} \sdot \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|} = \boldsymbol{\vec{v}} \sdot \boldsymbol{\hat{r}},</math>

gde je <math>\boldsymbol{\vec{r}}</math> [[vektor položaja]].

Intenzitet normalne brzine je vektorski proizvod vektora brzine i jediničnog vektora u smeru [[pomeraj]]a , ili — proizvod intenziteta ugaone brzine <math>\boldsymbol{\omega}</math> i intenziteta vektora položaja:

:<math>\boldsymbol{v}_N = \boldsymbol{\vec{v}} \times \frac{\boldsymbol{\vec{r}}}{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|} = \boldsymbol{\vec{v}} \times \boldsymbol{\hat{r}} = \frac{|\boldsymbol{\vec{v}}\times\boldsymbol{\vec{r}}\,|}{\boldsymbol{\vec{r}}} = \boldsymbol{\omega} \sdot |\boldsymbol{\vec{r}}\,| = \boldsymbol{\omega} \sdot \boldsymbol{r},</math>

tako da je:

:<math>\boldsymbol{\omega}=\frac{|\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\vec{r}}\,|}{|\boldsymbol{\vec{r}}\,|^2}.</math>

[[Ugaoni moment]] u [[Skalar (matematika)|skalarnom]] obliku je proizvod mase, [[položaj]]a (udaljenosti od ishodišta) i normalne brzine, ili ekvivalentno — proizvod mase, kvadrata [[položaj]]a i intenziteta ugaone brzine:

:<math>\boldsymbol{L}= m \sdot \boldsymbol{r} \sdot \boldsymbol{v}_T = m \sdot \boldsymbol{r}^2 \sdot \boldsymbol{\omega},</math>

gde je <math>m</math> masa, a <math>\boldsymbol{r}=|\boldsymbol{\vec{r}}\,|</math> intenzitet vektora položaja.

Izraz <math>\ m \boldsymbol{r}^2\ </math> je poznat pod imenom [[moment inercije]].

Ako su sile u radijalnom smeru samo u obrnutoj kvadratnoj zavisnosti, kao što je to slučaj sa gravtitacionom orbitom, ugaoni moment je konstantan, a normalna brzina obrnuto proporcionalna udaljenosti, ugaona brzina obrnuto proprcionalna kvadratu udaljenosti, a izvod po kojem je površina vađena je konstantan. Ove relacije su poznate kao [[Keplerovi zakoni planetarnog kretanja]].

== Povezano ==
* [[Gibanje]]
* [[Putanja]]
* [[Ubrzanje]]
* [[Trzaj]]
* [[Prva kosmička brzina]]
* [[Druga kosmička brzina]]
* [[Treća kosmička brzina]]
* [[Četvrta kosmička brzina]]
* [[Položaj]]
* [[Vektor položaja]]
* [[Pomeraj]]
* [[Vektor pomeraja]]
* [[Ugaona brzina]]
* [[Brzina svetlosti]]

== Literatura ==
{{refbegin}}
* Robert Resnick and Jearl Walker, ''Fundamentals of Physics'', Wiley; 7 Sub edition (June 16, 2004). {{ISBN|0-471-23231-9}}.
* {{cite book
|last1=Gribbin
|first1=J.R.
|last2=Gribbin
|first2=M.
|last3=Gribbin
|first3=J.
|title=Q is for Quantum: An Encyclopedia of Particle Physics
|url=http://books.google.com/books?id=WzwbAQAAIAAJ
|year=1998
|publisher=Free Press
|isbn=978-0-684-85578-3
|ref=harv}}
* {{cite book
|last1=Gribbin
|first1=J.R.
|last2=Gribbin
|first2=M.
|last3=Gribbin
|first3=J.
|title=Q is for Quantum: An Encyclopedia of Particle Physics
|url=http://books.google.com/books?id=WzwbAQAAIAAJ
|year=1998
|publisher=Free Press 
|isbn=978-0-684-85578-3
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Holzner
|first=S.
|year=2006
|title=Physics for Dummies
|url=http://www.amazon.com/gp/reader/0764554336
|publisher=John Wiley & Sons
|quote=Physics is the study of your world and the world  and universe around you.
|isbn=0-470-61841-8
|ref=harv}}
* {{cite journal
|last=Leggett
|first=A.J.
|title=Superfluidity
|journal=Reviews of Modern Physics
|year=1999
|volume=71
|issue=2
|pages=S318–S323
|doi=10.1103/RevModPhys.71.S318
|bibcode = 1999RvMPS..71..318L
|ref=harv}}

{{refend}}

== Vanjske veze ==
{{Commonscat|Velocity}}
*[http://www.physicsclassroom.com/Class/1DKin/U1L1d.html Physicsclassroom.com], Speed and Velocity
*[http://www.scs.cmu.edu/~rapidproto/mechanisms/chpt1.html Introduction to Mechanisms] (Carnegie Mellon University)

[[Kategorija:Kretanje]]