Izvorni kod stranice Determinanta

U [[algebra|algebri]], '''determinanta''' je [[funkcija (matematika)|funkcija]] koja zavisi od ''n'', koja dodeljuje [[skalar (matematika)|skalarnu vrednost]], det(''A''), svakoj ''n''×''n'' kvadratnoj [[matrica (matematika)|matrici]] ''A''. Važno svojstvo determinante je da je matrica ''A'' nad poljem (na primer, [[realan broj|realna]] ili [[kompleksan broj|kompleksna]] matrica) [[inverzna matrica|invertibilna]] ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Otuda potiče i naziv „determinanta“, jer ova vrednost određuje (determiniše) da li je matrica invertibilna ili ne.

Determinante su važne i u [[matematička analiza|matematičkoj analizi]], gde su neophodne za uvođenje smena kod [[funkcija više promenljivih]], kao i u [[multilinearna algebra|multilinearnoj algebri]].

Za fiksiran pozitivni ceo broj ''n'', postoji jedinstvena funkcija determinante za ''n''×''n'' matrice nad bilo kojim [[komutativni prsten|komutativnim prstenom]] ''R''. Specijalno, ova funkcija postoji kada je ''R'' [[polje (matematika)|polje]] [[realan broj|realnih]] ili [[kompleksan broj|kompleksnih brojeva]].

== Notacija ==
Determinanta matrice ''A'' se takođe nekada označava i kao <math>|A|</math>. Ova notacija može da bude dvosmislena, jer se takođe koristi i za određene [[norma matrice|norme matrice]] i za [[apsolutna vrednost|apsolutnu vrednost]]. Međutim, norma matrice se često označava sa dve vertikalne crte (tj. <math>\|\cdot\|</math>). Stoga se ovakva notacija (pomoću vertikalnih crta) vrlo često koristi. Na primer, za matricu
:<math>
A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}\,
</math>
determinanta <math>\det(A)</math> se može označiti kao <math>|A|</math> ili eksplicitnije kao
:<math>
|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}.\,
</math>
To jest, uglaste zagrade se zamenjuju vertikalnim crtama.

== Determinante matrica formata 2-sa-2 ==
[[Datoteka:Area parallellogram as determinant.svg|mini|desno|Površina paralelograma je determinanta matrice koja se dobija od vektora koji predstavljaju stranice paralelograma.]]
Matrica formata 2&times;2
:<math>
A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,
</math>

ima determinantu
:<math>\det(A)=ad-bc.\,</math>

Interpretacija kada matrica ima članove koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu [[paralelogram]]a sa temenima (0,0), (''a'',''b''), (''a'' + ''c'', ''b'' + ''d''), i (''c'',''d''). (Za ovaj paralelogram kažemo da je ''razapet'' nad vektorima (''a'', ''b'') i (''c'',''d'').) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena [[površina]], osim što je negativna kada se temena poređaju u pravcu kazaljke na satu.

Formule za veće matrice su date dole.

== Determinante matrica formata 3-sa-3 ==
Matrica formata 3&times;3
:<math>A=\begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}.</math>
Korišćenjem Laplasovog razvoja po kofaktorima na prvoj vrsti matrice, dobijamo:
:<math>\det(A)=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}
-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}
+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}=aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg,</math>
što je jednako
:<math>\det(A)=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb.</math>

Formula za determinantu formata 3&nbsp;&times;&nbsp;3 se može lako zapamtiti primenom sledećeg „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata 3&nbsp;&times;&nbsp;3 jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od ''severozapada'' do ''jugoistoka'', minus zbir proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od ''jugozapada'' do ''severoistoka'', kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano ispod:

:<math>
\begin{matrix}
\color{red}a & \color{red}b & \color{red}c & a & b \\
d & \color{red}e & \color{red}f & \color{red}d & e \\
g & h & \color{red}i & \color{red}g & \color{red}h
\end{matrix}
\quad - \quad
\begin{matrix}
a & b & \color{blue}c & \color{blue}a & \color{blue}b \\
d & \color{blue}e & \color{blue}f & \color{blue}d & e \\
\color{blue}g & \color{blue}h & \color{blue}i & g & h
\end{matrix}
</math>

Sarusovo pravilo je [[mnemonik]], odnosno samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

== Primene ==
Determinante se koriste za opisivanje [[invertibilna matrica|invertibilnih matrica]] (to su matrice čije determinante su različite od nule), i da se eksplicitno opiše rešenje sistema [[sistem linearnih jednačina|sistema linearnih jednačina]] pomoću [[Kramerovo pravilo|Kramerovog pravila]]. Takođe se mogu koristiti i za pronalaženje [[sopstvena vrednost|sopstvene vrednosti]] matrice <math>A</math> pomoću [[karakteristični polinom|karakterističnog polinoma]]
:<math>p(x) = \det(xI - A) \,</math>

gde je ''I'' [[jedinična matrica]] iste dimenzije kao i ''A''.

Ponekad se matrica posmatra kao dodela broja svakom nizu od <math>n</math> vektora u <math>\mathbb{R}^n</math>, korišćenjem kvadratne matrice čije su kolone dati vektori.
Imajući ovo u vidu, znak determinante [[baza (linearna algebra)|baze]] se može koristiti da se definiše pojam [[orijentacija (matematika)|orijentacije]] u [[Euklidski prostor|Euklidskom prostoru]].

Determinante se koriste da se izračunaju [[zapremina|zapremine]] u [[vektorska analiza|vektorskoj analizi]]: [[apsolutna vrednost]] determinante realnih vektora je jednaka zapremini [[paralelepiped]]a koji grade ti vektori. Kao posledica, ako je [[linearna transformacija|linearno preslikavanje]] <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math> predstavljeno matricom <math>A</math>, i <math>S</math> je bilo koji merljivi [[podskup]] od <math>\mathbb{R}^n</math>, onda je zapremina <math>f(S)</math> jednaka <math>\left| \det(A) \right| \times \operatorname{zapremina}(S)</math>. Opštije, ako je linearno preslikavanje <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math> predstavljeno <math>m</math>-sa-<math>n</math> matricom <math>A</math>, i <math>S</math> je bilo koji merljivi podskup od <math>\mathbb{R}^{n}</math>, onda je <math>n</math>-dimenziona zapremina od <math>f(S)</math> jednaka <math>\sqrt{\det(A^\top A)} \times \operatorname{zapremina}(S)</math>.

U [[matematička analiza|matematičkoj analizi]], kod računanja integrala po podskupovima Euklidskog prostora ''R'''<sup>''n''</sup> u dimenzijama ''n''&nbsp;&ge;&nbsp;2, prilikom uvođenja smene se u integrandu pojavljuje i dodatni faktor, „jakobijan“, koji predstavlja determinantu [[Jakobijeva matrica|Jakobijeve matrice]] za datu smenu:
:<math>\det\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_n}{\partial x_n}  \end{bmatrix}. </math>
Jakobijan se slično pojavljuje u definiciji integracije na diferencijabilnim [[mnogostrukost]]ima, gde ulogu smene imaju preslikavanja promene koordinata između pojedinih mapa u atlasu.

== Opšta definicija i računanje ==
Definicija determinante potiče od sledeće teoreme:

Neka ''M''<sub>''n''</sub>(''K'') označava skup svih <math>n \times n</math> matrica nad poljem ''K''. Postoji tačno jedna funkcija
:<math>F : M_n(K) \longrightarrow K</math>
sa sledeća dva svojstva:
* <math>F</math> alternira multilinearno u odnosu na kolone;
* <math>F(I) = 1</math>.
Determinanta se može definisati kao jedinstvena funkcija sa navedenim svojstvima.

U dokazivanju gornje teoreme, takođe se dobija [[Lajbnicova formula za determinante|Lajbnicova formula]]:
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma(i)}.</math>

Suma se računa nad svim [[permutacija]]ma <math>\sigma</math> brojeva {1,2,...,''n''} a <math>\sgn(\sigma)</math> označava znak permutacije <math>\sigma</math>: +1 ako je <math>\sigma</math> parna permutacija, a &minus;1 ako je neparna. Ova formula sadrži <math>n!</math> ([[faktorijel]]) sabiraka, i stoga je nepraktična za numeričko izračunavanje determinanata kada je <math>n</math> veliko.

Za male matrice se dobijaju sledeće formule:
* ako je <math>A</math> matrica formata 1-sa-1, onda <math>\det(A) = A_{1,1}. \,</math>
* ako je <math>A</math> matrica formata 2-sa-2, onda <math>\det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2}. \,</math>
* za matrice <math>A</math> formata 3-sa-3, formula je komlikovanija:

:<math>
\begin{matrix}
\det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\
& & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.
\end{matrix}\,</math>

Takođe je moguće razložiti determinantu duž neke vrste ili kolone, korišćenjem ''[[Laplasov razvoj|Laplasovog razvoja]]'', koji je efikasan za relativno male matrice. Kako bismo razložili matricu duž vrste <math>i</math>, pišemo
:<math>\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}</math>
gde <math>C_{i,j}</math> predstavlja matricu kofaktora, to jest, <math>C_{i,j}</math> je jednako <math>(-1)^{i+j}</math> puta [[minor (matrica)|minor]] <math>M_{i,j}</math>, koji je determinanta matrice koja se dobije kada se iz matrice <math>A</math> ukloni <math>i</math>-ta vrsta i <math>j</math>-ta kolona. U opštem slučaju, ponovljena primena Laplasovog razvoja po vrstama ili kolonama za numeričko izračunavanje determinante formata ''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' pri velikom ''n'' nije praktična, jer zahteva više od ''n''! operacija.

U opštem slučaju, determinantu možemo izračunati korišćenjem [[Gausova eliminacija|Gausove eliminacije]] pomoću sledećih pravila:
* Ako je <math>A</math> [[trougaona matrica]], tj. <math>A_{i,j} = 0 \,</math> kada god je <math>i > j</math> ili alternativno kada god je <math>i < j</math>, onda <math>\det(A) =  A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n} \,</math> (proizvod dijagonalnih članova matrice <math>A</math>).
* Ako se matrica <math>B</math> dobija od matrice <math>A</math> zamenom mesta dvema vrstama ili kolonama, onda <math>\det(B) = -\det(A). \,</math>
* Ako se matrica <math>B</math> dobija od matrice <math>A</math> množenjem jedne vrste ili kolone brojem <math>c</math>, onda <math>\det(B) = c\,\det(A). \,</math>
* ako se matrica <math>B</math> dobija od matrice <math>A</math> dodavanjem umnoška jedne vrste drugoj, ili jedne kolone drugoj, onda <math>\det(B) = \det(A). \,</math>

Eksplicitno, ako se pođe od neke matrice, mogu se koristiti poslednja tri pravila da se ona transformiše u trougaonu matricu, a zarim je pomoću prva tri pravila lako izračunati njenu determinantu.

== Primer ==
Pretpostavimo da želimo da izračunamo determinantu matrice
:<math>A = \begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}.</math>

Možemo direktno da iskoristimo Lajbnicovu formulu:
:{|
|-
|<math>\det(A)\,</math>
|<math>=\,</math>
|<math>(-2\cdot 1 \cdot -1) + (-3\cdot -1 \cdot 0) + (2\cdot 3\cdot 2)</math>
|-
|
|
|<math>- (-3\cdot 1 \cdot 2) - (-2\cdot 3 \cdot 0) - (2\cdot -1 \cdot -1)</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>2 + 0 + 12 - (-6) - 0 - 2 = 18.\,</math>
|}

Takođe, možemo da iskoristimo [[Laplasov razvoj]] duž vrste ili kolone. Najpodesnije je izabrati vrstu ili kolonu sa što više nula, pa biramo drugu kolonu:
:{|
|-
|<math>\det(A)\,</math>
|<math>=\,</math>
|<math>(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{bmatrix}-1&3\\ 2 &-1\end{bmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{bmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{bmatrix}</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3))</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>(-2)(-5)+8 = 18.\,</math>
|}

Treći način (najpraktičniji za veće matrice) bi koristio Gausov algoritam. Kada se račun vrši ručno, obično se postupak može značajno skratiti dodavanjem umnožaka kolona ili vrsta drugim kolonama ili vrstama; ovo ne menja vrednost determinante, a daje nule koje uprošćavaju kasnija računanja. U ovom slučaju, dodavanje druge kolone prvoj je vrlo korisno:

:<math>\begin{bmatrix}0&2&-3\\
0 &1 &3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}</math>

i ova determinanta se može brzo razložiti po prvoj koloni:

:{|
|-
|<math>\det(A)\,</math>
|<math>=\,</math>
|<math>(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det \begin{bmatrix}2&-3\\ 1&3\end{bmatrix}</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>2\cdot(2\cdot3-1\cdot(-3)) = 2\cdot 9 = 18.\,</math>
|}

== Svojstva ==
Determinanta je ''multiplikativno preslikavanje'' u smislu da
:<math>\det(AB) = \det(A)\det(B) \,</math> za sve ''n''-sa-''n'' matrice <math>A</math> i <math>B</math>.

Lako je videti da je <math>\det(rI_n) = r^n \,</math> i stoga
:<math>\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A) \,</math> za svaku ''n''-sa-''n''matricu <math>A</math> i za svaki [[skalar (matematika)|skalar]] <math>r</math>.

Matrica nad [[komutativni prsten|komutativnim prstenom]] ''R'' je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta [[jedinica (teorija prstena)|jedinica]] (odnosno invertibilan element) u ''R''. Specijalno, ako je ''A'' matrica nad [[polje (matematika)|poljem]] kao što su [[realan broj|realni]] ili [[kompleksan broj|kompleksni brojevi]], onda je ''A'' invertibilna akko je det(''A'') različita od nule. U ovom slučaju imamo

:<math>\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}. \,</math>

Izraženo na drugi način: vektori ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub> u '''R'''<sup>''n''</sup> formiraju [[baza (linearna algebra)|bazu]] akko det(''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub>) nije jednako nuli.

Matrica, i njena transponovana matrica imaju istu determinantu:
:<math>\det(A^\top) = \det(A). \,</math>

Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su [[kompleksno konjugovan broj|konjugovani kompleksni brojevi]]:
:<math>\det(A^*) = \det(A)^*. \,</math>

Determinanta matrice <math>A</math> ispoljava sledeća svojstva u odnosu na elementarne transformacije matrice <math>A</math>:
# Zamena mesta vrstama ili kolonama množi determinantu sa &minus;1.
# Množenje vrste ili kolone sa <math>m</math> množi determinantu sa <math>m</math>.
# Dodavanje umnoška vrste ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.

Ako su <math>A</math> i <math>B</math> [[slične matrice]], to jest, postoji invertibilna matrica <math>X</math>, takva da <math>A</math> = <math>X^{-1} B X</math>, onda po multiplikativnom svojstvu,

:<math>\det(A) = \det(B). \,</math>

Zbog ovoga, determinanta matrice nekog [[linearna transformacija|linearnog operatora]] ''T'' : ''V'' → ''V'' na konačno dimenzionom [[vektorski prostor|vesktorskom prostoru]] ''V'' ne zavisi od izbora baze u ''V''. Zajednička vrednost svih matrica datog linearnog operatora ''T'' naziva se determinantom linearnog operatora ''T'' i označava sa det&nbsp;''T''. Ovaj odnos je jednosmeran: postoje matrice čije determinante su iste, ali one nisu slične.

=== Izvod ===
Determinante realnih kvadratnih matrica su [[polinom|polinomijalne funkcije]] sa <math>\mathbb{R}^{n \times n}</math> na <math>\mathbb{R}</math>, i kao takve su uvek [[izvod|diferencijabilne]]. NJihov izvod se može izraziti pomoću ''[[Jakobijeva formula|Jakobijeve formule]]'':

: <math>d \,\det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A) \,dA)</math>

gde adj(''A'') označava [[adjungovana matrica|adjungovanu matricu]] od ''A''. Specijalno, ako je ''A'' invertibilna, imamo
: <math>d \,\det(A) = \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} \,dA)</math>

ili, 
: <math>\det(A + X) - \det(A) \approx \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} X)</math>

ako su članovi matrice <math>X</math> suviše mali. Specijalan slučaj kada je <math>A</math> jednaka jediničnoj matrici, <math>I</math> dobija se
: <math>\det(I + X) \approx 1 + \operatorname{tr}(X).</math>

Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase
: <math> \frac{\partial \det(A)}{\partial A_{ij}} = \det(A)(A^{-1})_{ij}.   </math>

== Reference ==
* {{Citation | last = Axler | first = Sheldon Jay | year = 1997 | title = Linear Algebra Done Right | publisher = Springer-Verlag | edition = 2nd | isbn = 0-387-98259-0 }}
* {{Citation | last1=de Boor | first1=Carl | title=An empty exercise | url=http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf | doi=10.1145/122272.122273 |year=1990 | journal=ACM SIGNUM Newsletter | volume=25 | issue=2 | pages=3–7}}.
* {{Citation
 | last = Lay
 | first = David C.
 | date = August 22, 2005
 | title = Linear Algebra and Its Applications
 | publisher = Addison Wesley
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0-321-28713-7
}}
* {{Citation
 | last = Meyer
 | first = Carl D.
 | date = February 15, 2001
 | title = Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
 | publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
 | isbn = 978-0-89871-454-8
 | url = http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
 | access-date = 2014-06-15
 | archivedate = 2009-10-31
 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20091031193126/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
 | deadurl = yes
 }}
* {{citation | last=Muir | first=Thomas | title=A treatise on the theory of determinants | others=Revised and enlarged by William H. Metzler | origyear=1933 | year=1960 | publisher=Dover | location=New York, NY }}
* {{Citation
 | last = Poole
 | first = David
 | year = 2006
 | title = Linear Algebra: A Modern Introduction
 | publisher = Brooks/Cole
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-534-99845-3
}}
* {{Citation
 | last = Anton
 | first = Howard
 | year = 2005
 | title = Elementary Linear Algebra (Applications Version)
 | publisher = Wiley International
 | edition = 9th
}}
* {{Citation
 | last = Leon
 | first = Steven J.
 | year = 2006
 | title = Linear Algebra With Applications
 | publisher = Pearson Prentice Hall
 | edition = 7th
}}

== Vanjske veze ==
* [http://www.elemenat.com/cyr/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B5 Determinante] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140515074959/http://www.elemenat.com/cyr/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B5 |date=2014-05-15 }}
* {{SpringerEOM|title=Determinant|id=Determinant&oldid=12692|Suprunenko=|first=D.A.}}
* {{MathWorld|title=Determinant|urlname=Determinant}}
* {{MacTutor|class=HistTopics||id=Matrices_and_determinants|title=Matrices and determinants}}
* [http://sole.ooz.ie/en WebApp to calculate determinants and descriptively solve systems of linear equations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140221054733/http://sole.ooz.ie/en |date=2014-02-21 }}
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/MatrixDeterminant.html Determinant Interactive Program and Tutorial]
* [http://matrixcalc.org/en.index.html Online Matrix Calculator]
* [http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/en/ Linear algebra: determinants.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081204081902/http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/en/ |date=2008-12-04 }} Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.

[[Kategorija:Determinante|*]]
[[Kategorija:Teorija matrica]]
[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Homogeni polinomi]]
[[Kategorija:Algebra]]