Izvorni kod stranice Gram–Schmidtov postupak

'''Gram–Schmidtov postupak''' ([[hrvatski jezik|hrv.]]) ili '''Gram–Šmitov postupak''' ([[srpski jezik|srp.]]) je metoda u [[linearna algebra|linearnoj algebri]] koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći. Uzmimo na primjer [[vektorski prostor]] proizvoljne [[Dimenzija vektorskog prostora|dimenzije]] '''R'''<sup>''n''</sup> baze {'''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ... ,'''v'''<sub>n</sub>}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {'''v'''<sub>i</sub>} u ortonormiranu bazu, {'''u'''<sub>i</sub>}. Prvo normaliziramo '''v'''<sub>1</sub>: '''u'''<sub>1</sub>='''v'''<sub>1</sub>/||'''v'''<sub>1</sub>||.

Nakon toga izračunavamo '''w'''<sub>2</sub>='''v'''<sub>2</sub>-<'''v'''<sub>2</sub>,'''u'''<sub>1</sub>>'''u'''<sub>1</sub>, pa normaliziramo '''w'''<sub>2</sub>: '''u'''<sub>2</sub>='''w'''<sub>2</sub>/||'''w'''<sub>2</sub>||

Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {'''v'''<sub>i</sub>}: '''w'''<sub>i+1</sub>='''v'''<sub>i+1</sub>-<'''v'''<sub>i+1</sub>,'''u'''<sub>i</sub>ui>- ... - <'''v'''<sub>i+1</sub>,'''u'''<sub>1</sub>>'''u'''<sub>1</sub> i '''u'''<sub>i+1</sub>='''w'''<sub>i+1</sub>/||'''w'''<sub>i+1</sub>||. Vektori {'''u'''<sub>1</sub>, ... ,'''v'''<sub>n</sub>} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora '''R'''<sup>''n''</sup>.

== Primjer ==

Uzmimo sljedeći skup vektora u '''R'''<sup>''n''</sup> (sa uobičajenim skalarnim produktom)
:<math>S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.</math>

Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:
:<math>\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}</math>
:<math> \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}. </math>

Provjerimo vektore '''u'''<sub>1</sub> i '''u'''<sub>2</sub> kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:
:<math>\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.</math>

Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim dužinama:

[[Datoteka:Gram–Schmidt process.svg|desno|mini|Prvi koraci Gram-Schmidtovog postupka.]]

:<math>\mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = {1 \over \sqrt{40 \over 25}} \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}
 = {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}. </math>

[[Kategorija:Linearna algebra]]