Izvorni kod stranice Keplerovi zakoni planetarnog kretanja

[[Datoteka:Kepler laws diagram.svg|mini|desno|300px|Slika prikazuje 3 Keplerova zakona s dvije [[planetarna putanja|planetarne putanje]]:<br /> (1) Putanje planeta su [[elipsa|elipse]], sa [[žarište|žarištima]] ''&fnof;''<sub>1</sub> i ''&fnof;''<sub>2</sub> za prvi planet i ''&fnof;''<sub>1</sub> i ''&fnof;''<sub>3</sub> za drugi [[planet]]. [[Sunce]] je smješteno u žarištu ''&fnof;''<sub>1</sub>. <br /> (2) Dva zasjenčena područja ''A''<sub>1</sub> i ''A''<sub>2</sub> imaju jednake [[površina|površine]] i vrijeme za planet 1 da prekrije područje ''A''<sub>1</sub> je jednako da prekrije područje ''A''<sub>2</sub>. <br /> (3) Ukupna [[ophodno vrijeme|ophodna vremena]] planeta 1 i planeta 2 imaju odnos ''t''<sub>1</sub><sup>3/2</sup>&nbsp;:&nbsp;''t''<sub>2</sub><sup>3/2</sup>.]]

'''Keplerovi zakoni gibanja planeta''' opisuju [[gibanje]] [[planet]]a oko [[Sunce|Sunca]]. Tri su Keplerova zakona:

# [[Prvi Keplerov zakon]] − svi planeti gibaju se po [[elipsa]]ma kojima je jedno od [[žarište|žarišta]] Sunce.
# [[Drugi Keplerov zakon]] − [[vektor položaja]] Sunce-planet (dužina koja spaja središte Sunca i trenutni položaj planete), prelazi u jednakim [[Vrijeme (fizika)|vremenskim razmacima]] jednake [[površina|površine]].
# [[Treći Keplerov zakon]] − [[Potenciranje|kvadrati]] ophodnih vremena planeta proporcionalni su kubovima njihovih srednjih udaljenosti od Sunca.

Gibanje [[satelit]]a oko matičnog planeta i svaki drugi sličan sustav također se opisuju Keplerovim zakonima. Naziv su dobili po njemačkom astronomu [[Johannes Kepler|Johannesu Kepleru]].

== Pozadina ==

Obrađujući vrlo precizna promatranja koja je izvršio [[Tycho Brahe]], Kepler je uočio neslaganje kretanja planeta s njihovim pretpostavljenim kružnim putanjama. Analizirajući geometrijski oblik planetskih putanja zaključio je da se planeti ne gibaju oko Sunca po pravilnim kružnicama (kao što je mislio [[Nikola Kopernik|Kopernik]]), već da su njihove staze, zapravo, elipse i da se po njima planeti kreću po određenim zakonitostima. Usporedivši svoje pretpostavke s rezultatima promatranja, ustanovio je da se vrlo dobro slažu. Tako je formulirao tri najznačajnija zakona kinematike [[Sunčev sustav|Sunčeva sustava]].

== Prvi Keplerov zakon ==
{{Glavni|Prvi Keplerov zakon}}
[[Datoteka:Kepler's Laws Slika 01.jpg|mini|desno|300px|[[Geometrija]] planetarnog kretanja: planet (<math>M</math>) obilazi oko [[Sunce|Sunca]] (<math>S</math>) po elipsi (<math>P</math>-[[perihel]], <math>A</math>-[[afel]])]]
[[Datoteka:OrbitalEccentricityDemo.svg|mini|300px|desno| Sa smanjenjenjem ekscentriciteta (''ε'' → 0) [[elipsa]] prelazi u [[kružnica|kružnicu]], a njezina velika poluos prelazi u polumjer kružnice. Ulogu srednje udaljenosti ima tada, naravno, sam polumjer kružnice. S druge strane, s povećanjem ekscentriciteta (''ε'' → 1) elipsa prelazi u [[parabola|parabolu]]. Za [[hiperbola|hiperbolu]] vrijedi ''ε'' > 1.]]

Prvi [[Johannes Kepler|Keplerov]] zakon glasi:
{{izdvojeni citat|'''Planeti se oko [[Sunce|Sunca]] kreću po [[elipsa|eliptičnim]] putanjama; u zajedničkom [[žarište|žarištu]] tih elipsa nalazi se Sunce'''.}}

Na prikazanoj slici elipsa predstavlja putanju nekog planeta. '''Linearni [[ekscentricitet]]''' je:

<center><math>e=\overline{OS}=\overline{OS'}=\sqrt{a^2-b^2}</math></center>

a '''numerički ekscentricitet''' je:

<center><math>\varepsilon=\frac{e}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math></center>

Iz toga proizlazi:

<center><math>\frac{b^2}{a}=p=a(1-\varepsilon^2)</math></center>

gdje se <math>p</math> naziva '''parametrom elipse'''.

Po definiciji elipse, <math>r+r_1=2a</math>. Iz trokuta <math>S'SM</math>, primjenom [[kosinusni poučak|kosinusnog poučka]] i supstitucijom parametra elipse, slijedi da je:

<center><math>r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos v}</math></center>

i to bi bila jednadžba planetske putanje ([[elipsa|jednadžba elipse]]), odnosno matematski izraz prvoga Keplerova zakona. Iz te se jednadžbe vidi ovisnost udaljenosti planeta od Sunca o kutu <math>v</math> koji se naziva [[prava anomalija|pravom anomalijom]] planeta.

Kad je <math>v=\frac{\pi}{2}</math>, tada je <math>r=p</math>, pa iz toga proizlazi definicija parametra planetske putanje kao radijus-vektora planeta koji je okomit na glavnu os elipse.

Karakteristične točke planetske putanje su [[afel]] i [[perihel]] (označene na slici s <math>A</math> i <math>P</math>). Afel je točka u kojoj je planet najudaljeniji od Sunca, a perihel je točka u kojoj je planet najbliži Suncu. Ako je <math>a</math> srednja udaljenost planeta od Sunca, onda proizlazi da su:

<center><math>A=a(1+\varepsilon)</math></center>

<center><math>P=a(1-\varepsilon)</math></center>

== Drugi Keplerov zakon ==
{{Glavni|Drugi Keplerov zakon}}
[[Datoteka:kepler-second-law.gif|mini|desno|400px|Radijus-vektor (provodnica) [[Sunce]]-[[planet]] opisuje u jednakim [[vrijeme (fizika)|vremenskim]] razmacima jednake [[površina|površine]] (plava površina). Zelena strelica prikazuje [[brzina|brzinu]] ([[vektor]] brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje [[ubrzanje]] (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna (normalna) s brzinom.]]

Drugi [[Johannes Kepler|Keplerov]] zakon glasi:

{{izdvojeni citat|'''Radijus-vektor Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine'''.}}

Na prikazanoj slici <math>dv</math> je priraštaj kuta <math>v</math> koji odgovara kratkom intervalu <math>dt</math>. Za to vrijeme radijus-vektor prebriše površinu:

<center><math>dp=\frac{r^2\pi}{2\pi}dv=\frac{1}{2}r^2dv</math></center>

(<math>v</math> u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj <math>dv</math> vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom <math>r</math>. Tako proizlazi:

<center><math>\frac{dp}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{dv}{dt}</math></center>

<math>\frac{dp}{dt}</math> naziva se [[površinska brzina|površinskom brzinom]]. Prema drugom Keplerovu zakonu ta je brzina konstantna:

<center><math>r^2\frac{dv}{dt}=C</math></center>

i to je matematički izraz drugoga Keplerova zakona.

== Treći Keplerov zakon ==
{{Glavni|Treći Keplerov zakon}}

[[Datoteka:Apparent retrograde motion.gif|mini|desno|300px|Kretanje [[Sunce|Sunca]] (žuto), [[Zemlja|Zemlje]] (plavo) i [[Mars]]a (crveno) prema [[heliocentrični sustav|heliocentričnom sustavu]] (lijevo) i [[geocentrični sustav|geocentričnom sustavu]] (desno). <br />
Napomena: putanje planeta su kružnice prema [[Nikola Kopernik|Kopernikovom sustavu]] i putanja Marsa je 2 godine (umjesto stvarnih 1.88 [[godina]]) zbog jednostavnosti.]]

Treći [[Johannes Kepler|Keplerov]] zakon glasi:

{{izdvojeni citat|'''Kvadrati ophodnih vremena srazmjerni su kubovima srednjih udaljenosti (velikih poluosi elipse) planeta od Sunca'''.}}

<center><math>\frac{a^3}{T^2}=k</math></center>

gdje je <math>k</math> jedan te isti broj za sve planete. Ako se za jedinicu udaljenosti uzme [[astronomska jedinica|1 a. j.]], a za jedinicu vremena jedna [[godina]], matematski izraz trećega Keplerova zakona poprima oblik:

<center><math> {a^3} = {T^2} </math></center>

Treći Keplerov zakon jasno povezuje udaljenosti planeta s njihovim [[Zvjezdana godina|sideričkim periodima]].<ref>[[Vladis Vujnović]] : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.</ref>

== Značaj ==

Pokazalo se da svi Keplerovi zakoni vrijede i za sustave satelita svakog planeta, odnosno općenito za sve sustave u Svemiru, samo je za svaki od njih konstanta [[Treći Keplerov zakon|<math>k</math> iz trećega zakona različita]]. Pošavši od Keplerovih zakona, [[Isaac Newton|Newton]] je postavio temelje ogromnom području [[Nebeska mehanika|nebeske mehanike]] i posredno utjecao na nagli razvoj [[matematika|matematike]], [[fizika|fizike]] i pojavu sasvim novog pravca u [[filozofija|filozofskom]] tumačenju svijeta.

== Reference ==
{{izvori}}

{{Historija fizike}}

[[Kategorija:Nebeska mehanika]]
[[Kategorija:Historija fizike]]
[[Kategorija:Fizikalni zakoni]]