Izvorni kod stranice Konačni i beskonačni skupovi

Za skup A kažemo da je ekvivalentan skupu S ako i samo ako postoji bijekcija sa A na S.
Za ekvivalentne skupove vrijedi
# Refleksivnost
A ≈A za svaki neprazni skup
# Simetričnost 
A ≈B <=> B ≈ A
# Tranzitivnost 
A ≈B & B≈A => A ≈C

Definišimo [[prirodne brojeve]] na sljedeći način
0={&oslash;
}
1={0}
2={1,2}...

Označavamo ga sa N(naturalis- prirodan)
Ovo su bili prvi brojevi kojima se koristio [[čovjek]] i imaju glavno mjesto u izgradnji matematičke nauke.
Za skup S kažemo da je '''konačan''' ako postoji prirodni broj n takav da je skup S={1,2,3,...} ekvivalentan sa skupom S.

Neke osobine skupova
# Svaki skup može se preslikati na svoj pravi podskup.
# Svaki skup koji se može preslikati na svoj pravi podskupje beskonačan.
# Skup je konačan ako i samo ako se može preslikati na svoj pravi podskup.
# Ako su A,B,C skupovi sa osobinom <math>A \subset B</math>; <math>B \subset C</math> i A je ekvivalentan sa C onda je A ekvivalentan sa B.

== Kardinalni broj skupa ==
Ekvivalentni [[skup]]ovi se još zovu i istobrojni. Umjesto A≈B pišemo k(A)=k(B) – kardinalni broj skupa A jednak je kardinalnom broju skupa B.

'''Cantorova teorema'''

Za svaki skup S vrijedi k(S)<kP(S) gdje je P(S) partitivni skup skupa S.

Kardinalni brojevi koji nisu konačni su '''transfinitni.'''

'''Korolar'''

Ne posatoji najveći transfinitni kardinalni broj

[[G Cantor]] je postavio hipotezu da između brojeva k(N) i kP(N) nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma.
Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi [[matematičari]] pa i sam Cantor (osnivač teorije skupova). Ovaj problem je ostao neriješen sve do [[1963]].god. kada je [[Amerika]]nac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih '''aksiom'''a teorije skupova. Isto kao što i V postiulat [[Euklid]]ove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

'''Teorema''' 

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AUB.

'''Teorema''' 

Ako su skupovi A i B prebrojivi onda je prebrojiv i skup AxB

'''Teorema o ekvivalenciji''' 

Ako je skup A ekvivalentan sa podskupom skupa B i B ekvivalentan sa podskupom skupa A onda su skupovi A iB ekvivalentni tj. k(A)=K(B)
Ako je skup A konačan ,a S beskonačan onda je k(AUS)=k(S)

== Ordinalni broj skupa ==
Neka je A dobro uređen skup. Klasu dobro uređenih skupova koji su slični sa A nazivamo '''ordinalni broj''' , oznaka ord(A) .
Ordinalni brojevi dobro uređenih skupova {1},{1,2},{1,2,3,}... zovemo konačni ordinalni broj i označavamo ga sa 1,2,3,...
Ordinalni brojevi koji nisu konačni su '''transfinitni'''. 

'''Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)'''

Ako je S dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa S možemo izabrati jedan element , tj postoji barem jedna [[funkcija]]koja svakom nepraznom [[skup]]u X podskup S pridružuje jedan element x iz X.

Za svaki beskonačan kardinalni broj a vrijedi a<sup>2</sup>=a
Za svaka dva skupa A i B važi k(A)=k(B) ili k(A)<k(B) ;k(A)=k(B) ili k(A)>k(B) 

'''Zornova(Cornova) lema'''

Ako je A parcijalno uređen skup u kome svaki potpuno urešen podskup ima gornju granicu sadrži bar jedan maksimalni element. 

'''Paradoksi u teoriji skupova'''

'''Cantarov paradoks'''

Uznimo da je S skup svih skupova. Tada je svaki podskup od S ujedno i član od S. Dakle, i partitivni skup od S je podsku od S.

P(S) podskup od S
kP(S)<k(S) i kP(S)=k(S) 
Međutim prema Cantarovom teormu je 
kP(S)>k(S) 

'''Ruselov paradoks'''

Neka je S skup svih skupova koji ne sadrže sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup S sam sebi.

Ovaj paradoks sličan je sa; U nekom selu postoji brijač koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju.
Pitanje: Ko brije brijača?

[[Kategorija:Matematika]]