Izvorni kod stranice Logaritamske jednačine

U [[matematika|matematici]] postoje nekoliko '''logaritamskih [[jednačina]]'''.

== Algebarske jednačine ==
=== Korišćenje jednostavnijih operacija ===
Ljudi koriste logaritme da bi uprostili račun. Na primer, dva broja mogu biti pomnožena samo koristeći tablicu logaritama i sabiranje.
{| cellpadding=3
| <math> \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, </math> || zbog || <math> b^m \cdot b^n = b^{m + n} </math>
|-
| <math> \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) </math> || zbog || <math> \begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n} </math>
|-
| <math> \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, </math> || zbog || <math> (b^n)^y = b^{ny} \!\, </math>
|-
| <math> \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} </math> || zbog || <math> \sqrt[y]{x} = x^{1/y} </math>
|}

=== Ukidanje eksponenata ===
Logaritmi i eksponenti (antilogaritmi) sa istom osnovom se poništavaju.
{| cellpadding=3
| <math> b^{\log_b(x)} = x </math> || zbog || <math> \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\, </math>
|-
| <math> \log_b(b^x) = x \!\, </math> || zbog || <math> \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\, </math>
|}

=== Promena osnove ===
:<math>\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}</math>

Ova jednačina se koristi za izračunavanje logaritama na elektronskim kalkulatorima. Na primer, većina kalkulatora ima dugmad za ln i za log<sub>10</sub>, ali ne i za log<sub>2</sub>. Da bismo našli log<sub>2</sub>(3), treba izračunati log<sub>10</sub>(3) / log<sub>10</sub>(2) (ili ln(3)/ln(2), što je zapravo ista stvar).

Iz ove formule proizilazi nekoliko stvari:

:<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math>

:<math>\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b</math>

:<math>a^{\log_b c} = c^{\log_b a}</math>

=== Trivijalne jednačine ===
{| cellpadding=3
| <math> \log_b(1) = 0 \!\, </math> || zbog || <math> b^0 = 1\!\, </math>
|-
| <math> \log_b(b) = 1 \!\, </math> || zbog || <math> b^1 = b\!\, </math>
|}

== Jednačine matematičke analize ==
=== [[limes|Limesi]] ===
:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1</math>

:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{if } a < 1</math>

:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{if } a > 1</math>

:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{if } a < 1</math>

:<math>\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0</math>

:<math>\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0</math>

Poslednji limes se često shvata kao "logaritam raste sporije od bilo kog stepena ili korena ''x''".

=== [[Izvod]] logaritamske funkcije ===
:<math>{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0</math>
:<math>{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1</math>

=== [[Integral]] logaritamske funkcije ===
:<math>\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C</math>

što se za a=e svodi na
:<math>\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C</math>

[[Kategorija:Jednačine]]
[[Kategorija:Logaritmi]]