Izvorni kod stranice Mercatorova projekcija

[[Datoteka:Mercator_1569.png|thumb|400px|right|'''Mercatorova karta svijeta''' ''Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate'' (1569.)]]
'''Mercatorova projekcija''' je [[cilindrična kartografska projekcija]] koju je 1569. osmislio [[Flamanci|flamanski]] geograf i kartograf [[Gerardus Mercator]]. Postala je standardna kartografska projekcija za nautičke svrhe zbog svoje mogućnosti prikazivanja linija konstantnog [[kurs]]a, [[loksodroma]], kao pravocrtnih segmenata. Budući da je linearno mjerilo konstantno u svim smjerovima oko bilo koje točke, očuvani su kutovi i oblici malenih objekata (što čini projekciju [[konformna projekcija|konformnom]]). Mercatorova projekcija ipak iskrivljuje veličinu i oblik velikih objekata s povećanjem mjerila od ekvatora prema polovima gdje ono postaje beskonačno.

== Obilježja i povijesni detalji ==
Mercatorovo izdanje iz 1569. predstavljalo je veliku [[planisfera|planisferu]] veličine 202 sa 124&nbsp;cm te tiskanu u osamnaest zasebnih listova. Kao u svim [[cilindrična projekcija|cilindričnim projekcijama]] [[paralela (geografija)|paralele]] i [[geografska dužina|meridijani]] su ravne linije okomiti jedni na druge. Radi postizanja navedenog dolazi do neizbježnog rastezanja karte u istočno-zapadnom smjeru, koje se povećava proporcionalno povećanju udaljenosti od [[ekvator]]a, što je praćeno odgovarajućim rastezanjem u smjeru sjevera i juga tako da svaka lokacijska točka čini projekciju [[konformna karta|konformnom]], a mjerilo u smjeru istoka odnosno zapada jednako je mjerilu u smjeru sjevera odnosno juga. Mercatorova karta nikad ne može u potpunosti prikazati polarna područja jer [[linearno mjerilo]] postaje beskonačno veliko na polovima. Budući da se radi o konformnoj projekciji, kutovi oko svih lokacija su očuvani, no mjerilo stoga varira od jednog do drugog mjesta, iskrivljujući veličinu geografskih objekata. Ovo je posebice važno jer su područja blizu polovima jače pogođena, pa se prijenos slike geometrije planeta jače iskrivljuje približavanjem polovima. Na geografskim širinama višima od 70° južno ili sjeverno Mercatorova projekcija praktički je beskorisna.

Sve linije konstantnog [[smjer (navigacija)|smjera]] ([[loksodroma|loksodrome]], koje čuvaju konstantnost kutova s meridijanima) prikazane su pravocrtnim segmentima na Mercatorovoj karti. One precizno odgovaraju tipu rute kojom brodovi obično plove morem i koje koriste [[kompas]] za označavanje geografskih smjerova i upravljanje brodovima. Dva obilježja, [[konformnost]] i pravocrtne [[loksodroma|loksodrome]], čine ovu projekciju jedinstveno prikladnom za pomorsku navigaciju: kursevi i smjerovi određuju se uporabom [[ruža vjetrova|ruže vjetrova]] ili protraktora, a odgovarajući smjerovi lako se prenose s točke na točku na karti uz pomoć [[paralelno ravnalo|paralelnog ravnala]] ili para [[navigacijski trokut|navigacijskih trokuta]].

Naziv i objašnjenja koja je Mercator priložio uz svoju kartu svijeta (''Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate'': "nov i proširen opis Zemlje ispravljen za navigacijsku uporabu") pokazuju da je izričito zamišljena za korištenje pomorske navigacije. Iako autor nije objasnio metodu konstrukcije, Mercator je vjerojatno koristio grafičku metodu, prenoseći loksodrome prethodno iscrtane na globusu na kvadratni [[gratikul]], zatim prilagođavajući razmake među paralelama tako da te linije postanu pravocrtne čime je očuvana stalnost kutova s meridijanima kao i na globusu.

Razvoj Mercatorove projekcije predstavljao je velik proboj u nautičkoj kartografiji 16. stoljeća. Štoviše, ona je bila daleko ispred svog vremena jer stare navigacijske i geodetske tehnike nisu bile kompatibilne s njenom uporabom u navigaciji. Dva glavna problema sprječavali su njezinu izravnu primjenu: nemogućnost određivanja geografske dužine na moru s prikladnom točnošću i činjenicom da su se u navigaciji koristili [[magnetski smjer]]ovi umjesto [[geografski smjer|geografskih smjerova]]. Tek su sredinom 18. stoljeća izumom [[pomorski kronometar|pomorskog kronometra]] i poznavanjem prostorne distribucije [[magnetska deklinacija|magnetske deklinacije]] navigatori mogli u potpunosti prihvatiti Mercatorovu projekciju.

Nekoliko se autora povezuje s razvojem Mercatorove projekcije:
* Nijemac [[Erhard Etzlaub]] (o. 1460. – 1532.), urezao je minijaturnu "kompasnu kartu" (veličine od oko 10×8&nbsp;cm) Europe i dijelova Afrike, geografske širine 67°–0°, kako bi omogućio prilagodbu svojih prijenosnih džepnih sunčanih satova i desetljećima se za njega govorilo da je dizajnirao "projekciju identičnu Mercatorovoj".
* Portugalski matematičar i kozmograf [[Pedro Nunes]] (1502. – 1578.), prvi je opisao loksodromu i njezinu uporabu u pomorskoj navigaciji, te je predložio konstrukciju nekoliko nautičkih karata krupnog mjerila u cilindričnoj ekvidistantnoj projekciji kako bi prikazao svijet s minimalnom kutnom distorzijom (1537.).
* Engleski matematičar [[Edward Wright]] (o. 1558. – 1615.), formalizirao je matematiku Mercatorove projekcije (1599.) te objavio pouzdane tablice za njezinu konstrukciju (1599., 1610.).
* Engleski matematičari [[Thomas Harriot]] (1560. – 1621.) i Henry Bond (o. 1600. – 1678.), neovisno su jedan od drugoga (o. 1600. i 1645.) povezali Mercatorovu projekciju s njezinom modernom logaritamskom formulom, kasnije potvrđenu računom.

== Matematika projekcije ==
[[Datoteka:Gudermannian.svg|thumb|231px|right|Odnos između vertikalne pozicije na karti (horizontalne na grafu) i geografske širine (vertikalne na grafu).]]
Sljedeće jednadžbe determiniraju ''x'' i ''y'' [[koordinate]] [[točke]] na Mercatorovoj karti prema njezinoj [[geografskoj širini]] ''φ'' i [[dužini]] ''λ'' (tako da je ''λ''<sub>0</sub> geografska dužina u centru karte):

:<math>
\begin{align}
x & = \lambda - \lambda_0 \\
y & = \ln \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right) \\
  & = \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin(\varphi)}{1 - \sin(\varphi)} \right) \\
  & = \sinh^{-1} \left( \tan(\varphi)\right) \\
  & = \tanh^{-1} \left( \sin(\varphi)\right) \\
  & = \ln \left(\tan(\varphi) + \sec(\varphi)\right).
\end{align}
</math>

Inverzija [[Gudermannova funkcija|Gudermannove funkcije]]:

:<math>
\begin{align}
\varphi    & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\
        & = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\
\lambda & = x + \lambda_0.
\end{align}
</math>

Mjerilo je proporcionalno [[sekans]]u geografske širine ''φ'' čime ono postaje arbitrarno veliko blizu [[geografski pol|polova]] gdje je ''φ'' = ±90°. Štoviše, kao što se vidi iz formula, koordinata ''y'' polova je plus ili minus beskonačna.

== Derivacija projekcije ==
[[Datoteka:Usgs map mercator.svg|right|frame|Mercatorova projekcija je cilindrična projekcija.]]
Pretpostavimo sferičnu Zemlju. (Zapravo je ona [[spljošteni sferoid|blago spljoštena]], no za karte sitnog mjerila razlika je beznačajna. Radi veće preciznosti umetnimo konformnu [[geografska širina|geografsku širinu]].) Sad pokušavamo transformirati geografsku širinu i dužinu (''λ'', ''φ'') u Kartezijev sustav (''x'', ''y'') to jest "cilindar (valjak) tangencijalan s ekvatorom" (tj. ''x'' = ''λ'') te konforman tako da je:

:<math>\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}</math>

:<math>\frac{\partial y}{\partial \lambda} = -\cos(\varphi) \frac{\partial x}{\partial \varphi}</math>

Iz ''x'' = ''λ'' dobivamo

:<math>\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1</math>

:<math>\frac{\partial x}{\partial \varphi} = 0</math>

što daje

:<math>1 = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}</math>

:<math>0 = \frac{\partial y}{\partial \lambda}</math>

Stoga je ''y'' funkcija samo ''φ'' sa <math>y'=\sec\varphi</math> prema kojem [[tablica integrala]] daje

:<math>y = \ln(|\sec(\varphi) + \tan(\varphi)|) + C.\,</math>

Prikladno je da na karti ''φ'' = 0 odgovara ''y'' = 0, pa uzmemo da je ''C'' = 0.

== Uporabe ==
[[Datoteka:Tissot mercator.png|thumb|right|250px|[[Tissotov indikatriks]]]]
[[Datoteka:Sinusiodal earth circles.png|thumb|right|250px|Gornja slika reprojicirana u sinusoidalnom obliku]]
U svim [[kartografska projekcija|kartografskim projekcijama]] koje pokušavaju zakrivljenu površinu prilagoditi ravnoj plohi oblik karte je zapravo distorzija pravog izgleda Zemljine površine. Mercatorova projekcija pretjeruje u veličini površina koja se nalaze daleko od [[ekvator]]a. Primjerice:
* [[Grenland]] je prikazan otprilike jednakom površinom kopna kao [[Afrika]] iako je površina Afrike aproksimativno 14 puta veća od Grenlanda.
* [[Aljaska]] je prikazana sličnom ili neznatno većom kopnenom površinom od [[Brazil]]a iako je površina Brazila oko 5 puta veća od Aljaske.
* [[Finska]] je veća u smjeru sjevera i juga od [[Indija|Indije]] iako je zapravo Indija mnogo veća.

Iako se Mercatorova projekcija još uvijek nalazi u općoj uporabi u navigaciji zbog svojih jedinstvenih obilježja, kartografi se slažu da nije prikladna za karte velikih područja zbog njezina iskrivljavanja površine kopna. Sam je Mercator koristio ekvivalentnu [[sinusoidna projekcija|sinusoidnu projekciju]] za prikaz relativnih područja. Kao rezultat ovih kritika moderni [[atlas (geografija)|atlasi]] više ne koriste Mercatorovu projekciju na kartama svijeta ili za područja udaljena od ekvatora, a umjesto nje preferiraju se [[cilindrična projekcija|cilindrične projekcije]] ili oblici [[ekvivalentna projekcija|ekvivalentnih projekcija]]. Mercatorova projekcija još se uvijek koristi za područja blizu ekvatora gdje je pak distorzija minimalna.

[[Arno Peters]] pokrenuo je kontroverzu kada je predložio [[Gall-Petersova projekcija|Gall-Petersovu projekciju]], neznatnu modifikaciju Lambertove cilindrične ekvivalentne projekcije kao alternativu Mercatorovoj. Rezolucijom iz 1989. sedam je sjevernoameričkih geografskih grupa obezvrijedilo uporabu svih pravokutnih koordinatnih karata svijeta uključujući Mercatorovu i Gall-Petersovu<ref>American Cartographer. 1989. 16(3): 222-223.</ref>.

[[Google Maps]] trenutačno koristi Mercatorovu projekciju u svojim slikama karata. Unatoč relativnim distorzijama mjerila, Mercator je prikladan za interaktivnu kartu svijeta na kojoj je moguće zumiranje spojenih lokalnih karata jer dolazi do relativno manje distorzije zbog [[konforman|konformne]] prirode projekcije. (Google Satellite Maps, u drugu ruku, koristio je [[cilindrična ekvidistantna projekcija|cilindričnu ekvidistantnu projekciju]] sve do [[22. 7.|22. srpnja]] [[2005]].)

Pločasti sustav [[Google Maps]]a prikazuje većinu svijeta na razini zooma 0 kao jednu sliku od 256 pikselnih kvadrata, isključujući polarne regije. Budući da Mercatorova koordinata ''x'' varira u rasponu od ''2π'', druga koordinata je limitirana na ''-π'' ≤ ''y'' ≤ ''π'' zbog toga što je:

<math>\frac{1}{2} \ln\bigg(\frac{1+\sin(\varphi)}{1-\sin(\varphi)}\bigg) = \pm\pi \Rightarrow \varphi = \pm\arcsin\bigg(\frac{\mathrm{e}^{2 \pi}-1}{\mathrm{e}^{2 \pi}+1}\bigg)</math>

odgovarajući ekstrem latitude ''φ'' = ±85,05113°. Vrijednosti geografske širine izvan ovog raspona ucrtavaju se na kartu koristeći drugi odnos koji ne divergira na ''φ'' = ±90°.

== Povezano ==
* [[Kartografija]]
* [[Cassinijeva projekcija]]
* [[Fullerova projekcija]] (dimaksijska projekcija, karta dymaxion)
* [[Ekvirektangularna projekcija]]
* [[Gall-Petersova projekcija]] s rezolucijom koja se odnosi na uporabu pravokutnih karata svijeta
* [[Gnomonska projekcija]]
* [[Lambertova konformna konusna projekcija]] (široko korištena u [[zrakoplovstvo|avijaciji]])
* [[Kartografska projekcija]]
* [[Mollweideova projekcija]]
* [[Nautička karta]]
* [[Robinsonova projekcija]]
* [[Okrenuta karta]]
* [[Transverzalna Mercatorova projekcija]]
* [[Winkelova trostruka projekcija]]

== Napomene ==
{{Reflist}}

== Izvori ==
* {{cite book | author=Snyder, John P. | title=Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395 | publisher =United States Government Printing Office, Washington, D.C | year=1987}} Ovaj se članak može skinuti sa [http://pubs.er.usgs.gov/pubs/pp/pp1395 stranica USGS-a] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110501194521/http://pubs.er.usgs.gov/pubs/pp/pp1395 |date=2011-05-01 }}.
* {{Cite book | author=Monmonier, Mark | title=Rhumb Lines and Map Wars | url=https://archive.org/details/rhumblinesmapwar00monm | location=Chicago | publisher=The University of Chicago Press |year=2004|ref=harv}}
* Needham, Joseph (1986). ''Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth''. Taipei: Caves Books Ltd.
* Needham, Joseph (1986). ''Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics.'' Taipei: Caves Books Ltd.

== Vanjske veze ==
{{Commonscat|Mercator projections}}
* [http://wilhelmkruecken.de/index.htm Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam] - sadrži slike visoke rezolucije Mercatorove karte svijeta iz 1569.
* [http://www.radicalcartography.net/?projectionref Tablica primjera i obilježja svih općih projekcija], s radicalcartography.net.
* [http://www.uff.br/mapprojections/Mercator_en.html Interaktivan java applet za proučavanje deformacija Mercatorove projekcije] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170907195627/http://www.uff.br/mapprojections/Mercator_en.html |date=2017-09-07 }}.

[[Kategorija:Kartografija]]