Izvorni kod stranice Minimalni polinom

U različitim područjima [[matematika|matematike]], '''minimalni polinom''' objekta ''a'' je u određenom smislu normirani polinom ''p'' najmanjeg mogućeg stupnja takav da je ''p''(''a'')&nbsp;=&nbsp;0. Posebno je značajan pojam minimalnog polinoma u [[linearna algebra|linearnoj algebri]] i [[teorija polja|teoriji polja]].

== Linearna algebra ==

U [[linearna algebra|linearnoj algebri]], '''minimalni polinom''' kvadratne [[matrica (matematika)|matrice]] ''A'' je [[monični polinom]] ''p'' najmanjeg mogućeg stupnja takav da je
:''p''(''A'')&nbsp;=&nbsp;0.
Svaka matrica ''A'' ima jednoznačno određen minimalni polinom; on se najčešće označuje sa &mu;<sub>''A''</sub>. Minimalni polinom matrice dijeli svaki od polinoma koji je poništavaju, tako da se može odrediti i kao njihov [[najveći zajednički djelitelj]], odnosno kao monični generator glavnog [[ideal prstena|ideala]]
:&#123;&nbsp;''p''&nbsp;&isin;''K''&#091;X&#093;&nbsp;&#058;&nbsp;''p''(''A'')&nbsp;=&nbsp;0&nbsp;&#125;&nbsp;=&nbsp;(&mu;<sub>''A''</sub>)
u [[prsten (algebra)|prstenu]] polinoma ''K''&#091;''X''&#093;.

[[Slične matrice]] imaju jednake minimalne polinome. Minimalni polinom [[linearno preslikavanje|linearnog operatora]] ''L'' je minimalni polinom bilo koje od njegovih matrica (koje su sve međusobno slične). Istovremeno, to je i monični polinom ''p'' najmanjeg stupnja takav da je ''p''(''L'')&nbsp;=&nbsp;0.

Minimalni i [[karakteristični polinom]] matrice imaju jednake skupove [[nula polinoma|nula]], moguće različitih kratnosti. Drugi način da se iskaže ovo svojstvo je relacija
:&mu;<sub>''A''</sub>&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;<sub>''A''</sub>&nbsp;&#124;&nbsp;&mu;<sub>''A''</sub><sup>''n''</sup>.
Relacija &mu;<sub>''A''</sub>&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;<sub>''A''</sub> je posljedica [[Cayley-Hamiltonov teorem|Cayley-Hamiltonovog teorema]], prema kojem je &phi;<sub>''A''</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;0. Na osnovu ovog svojstva, minimalni polinom matrice se u praksi najčešće nalazi tako što se prvo izračuna i na čimbenike razloži njen karakteristični polinom, a zatim se minimalni polinom traži među njegovim djeliteljima sa istim skupom nula. Minimalni polinom kvadratne matrice reda ''n'' je stupnja najviše ''n''.

=== Minimalni polinom, svojstvene vrijednosti i kanonski oblici matrice ===

Nule karakterističnog, pa dakle i minimalnog, polinoma matrice su njene [[svojstvena vrijednost|svojstvene vrijednosti]]. Posebice, ako ''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' matrica ima ''n'' različitih svojstvenih vrijednosti &lambda;<sub>1</sub>,&nbsp;&lambda;<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;&lambda;<sub>''n''</sub>, tada se njen minimalni i karakteristični polinom podudaraju i oba su jednaka
:(''X''&nbsp;&minus;&nbsp;&lambda;<sub>1</sub>)&sdot;(''X''&nbsp;&minus;&nbsp;&lambda;<sub>2</sub>)&nbsp;&hellip;&nbsp;(''X''&nbsp;&minus;&nbsp;&lambda;<sub>''n''</sub>).
Općenito, svaka matrica ima [[Jordanov normalni oblik]], jednoznačno određen do na redoslijed blokova, po nekoliko njih za svaku svojstvenu vrijednost matrice, i koja joj je slična, te tako ima isti minimalni i karakteristični polinom. Ako matrica ''A'' ima svojstvene vrijednosti &lambda;<sub>1</sub>,&nbsp;&lambda;<sub>2</sub>,&nbsp;&hellip;,&nbsp;&lambda;<sub>''k''</sub> sa algebarskim kratnostima ''r''<sub>1</sub>,&nbsp;''r''<sub>2</sub>,&nbsp;&hellip;,&nbsp;''r''<sub>''k''</sub> (tako da je ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>''k''</sub>&nbsp;=&nbsp;''n''), i ako su, za svako 1&nbsp;&le;&nbsp;''i''&nbsp;&le;&nbsp;''k'', &nu;<sub>1</sub>(''i'')&nbsp;&le;&nbsp;&nu;<sub>2</sub>(''i'')&nbsp;&le;&nbsp;&hellip;,&nbsp;&le;&nbsp;&nu;<sub>''si''</sub>(''i'') dimenzije Jordanovih blokova koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti &lambda;<sub>''i''</sub> (tako da je &nu;<sub>1</sub>(''i'')&nbsp;+&nbsp;&nu;<sub>2</sub>(''i'')&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;&nu;<sub>''si''</sub>(''i'')&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>''i''</sub>), tada je
:<math>\phi_A=(X-\lambda_1)^{r_1}(X-\lambda_2)^{r_2}\cdots(X-\lambda_k)^{r_k}</math>, <math>\mu_A=(X-\lambda_1)^{\nu_{s_1}(1)}(X-\lambda_2)^{\nu_{s_2}(2)}\cdots(X-\lambda_k)^{\nu_{s_k}(k)}</math>.
Posebno se minimalni i karakteristični polinom matrice podudaraju ako i samo ako svakoj njenoj svojstvenoj vrijednosti odgovara po točno jedan Jordanov blok, odnosno ako i samo ako su geometrijske kratnosti svih svojstvenih vrijednosti (za svojstvenu vrijednost &lambda;<sub>''i''</sub> to je ''s''<sub>''i''</sub>, broj odgovarajućih Jordanovih blokova) jednake 1.

Matrica je [[dijagonalizacija|dijagonalizabilna]] nad nekim [[polje (algebra)|poljem]] ''F'' ako i samo ako je njen minimalni polinom umnožak različitih linearnih faktora nad ''F''.

Matrice kod kojih se minimalni i karakteristični polinom podudaraju se pogodno karakteriziraju upravo kao matrice koje su slične nekoj [[ciklička matrica|cikličkoj matrici]]; linearni operatori koji odgovaraju takvim matricama se i sami nazivaju cikličkim operatorima. Općenito, ako su ''A''<sub>1</sub>,&nbsp;''A''<sub>2</sub>,&nbsp;....,&nbsp;''A''<sub>''l''</sub> [[kanonski ciklički oblik matrice|kanonski ciklički blokovi]] matrice ''A'' i &phi;<sub>1</sub>&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;<sub>2</sub>&nbsp;&#124;&nbsp;...&nbsp;&#124;&nbsp;&phi;<sub>''l''</sub> njihovi karakteristični (i istovremeno minimalni) polinomi, tzv. [[invarijantni djelitelj]]i matrice ''A'', tada je
:&phi;<sub>''A''</sub>&nbsp;=&nbsp;&phi;<sub>1</sub>&phi;<sub>2</sub>...&phi;<sub>''l''</sub>,&nbsp;&nbsp;&mu;<sub>''A''</sub>&nbsp;=&nbsp;&phi;<sub>''l''</sub>.

=== Poopćenja ===
Rabeći [[Teorija Galoisa|teorije Galoisa]] se ustanovljava da minimalni polinom matrice ne ovisi od [[polje (algebra)|polja]] nad kojim se ona promatra: ako je ''K'' [[potpolje]] nekog polja ''L'' i ''A'' matrica nad poljem ''K'', tada je minimalni polinom matrice ''A'' kao matrice nad poljem ''K'' istovremeno i njen minimalni polinom kao matrice nad poljem ''L''.

Minimalni polinom se definira i za matrice nad bilo kojim [[glavnoidealski prsten|glavnoidealskim prstenom]] ''S'' kao generatorom ideala polinoma koji poništavaju matricu ''A'' u prstenu polinoma ''S''&#091;''X''&#093;, za koji se pak dokazuje da je onda i sam glavnoidealski; u tom slučaju on je definiran jednoznačno do na množenje [[jedinica prstena|jedinicama]] prstena ''S''.

Minimalni polinom se također može definirati i za linearne operatore ''L'' na prostorima proizvoljne (moguće beskonačne) [[dimenzija vektorskog prostora|dimenzije]] kao monični polinom ''p'' najmanjeg stupnja takav da je ''p''(''L'')&nbsp;=&nbsp;0, ako takav polinom postoji. Na primjer, u [[funkcionalna analiza|funkcionalnoj analizi]], svaki operator [[projekcija|projekcije]] ''P'' u prostoru proizvoljne dimenzije je [[idempotentnost|idempotentan]], pa zadovoljava jednadžbu ''P''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''P''&nbsp;=&nbsp;0. Stoga je njegov minimalni polinom uvijek jedan od polinoma ''X'' (za operator projekcije na nul-potprostor), ''X''&nbsp;&minus;1 (za identični operator) ili ''X''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''X'' (za sve ostale operatore projekcije).

[[Kategorija:Linearna algebra]]