Izvorni kod stranice Moment sile

:''Razlikovati od [[Moment]] i [[Ugaoni moment]]''
{{Infobox physical quantity
| name = Moment sile 
| width =
| background =
| image = Torque animation.gif
| caption = Veza između [[sila|sile]] ('''F''') i momenta sile <math>\tau</math>, kao i [[impuls]]a ('''p''') i [[moment impulsa|momenta impulsa]] ('''L''') kod rotacionog kretanja. Vektor položaja tela u odnosu na tačku (osu) oko koje rotira označen je sa (r)
| unit = N⋅m
| otherunits = [[Pound-foot (torque)|funta-sile stopa]], [[Pound (force)|lbf]]⋅inč, ozf⋅in
| symbols = <math>\tau</math>, ''M''
| baseunits = kg⋅m<sup>2</sup>⋅s<sup>−2</sup>
| dimension = '''M''' '''L'''<sup>2</sup>'''T'''<sup>−2</sup>
}}
[[Datoteka:Fysik vridmoment.png|okvir|desno|Moment sile primenjen na kraj regulišućeg ključa za odvijanje]]

'''Obrtni moment''', '''obrtna sila''' ili '''moment sile''' je veličina u mehanici [[rotaciono kretanje|obrtnog (rotacionog) kretanja]] koja je analogna ulozi [[sila|sile]] kod [[translatorno kretanje|pravolinijskog (translacionog) kretanja]].<ref>Serway, R. A. and Jewett, Jr. J.W. (2003). ''Physics for Scientists and Engineers''. 6th Ed. Brooks Cole. {{ISBN|0-534-40842-7}}.</ref> Pri dejstvu sile, moment sile izaziva obrtno kretanje tela. Intenzitet momenta sile je jednak proizvodu sile i njenog najkraćeg rastojanja od ose rotacije. Na osnovu toga je očigledno da, sila čiji pravac seče osu rotacije tela ima nulti moment, odnosno ne može promeniti rotaciju tela, zbog čega je kod rotacionog kretanja i bilo nužno uvesti ovaj novi koncept momenta sile (npr. kada sednete na bicikl vaša masa deluje u pravcu ose točkova, koji se prema tome neće pokrenuti dok ne počnete da okrećete pedale).

Koncept je nastao iz [[Arhimed]]ovih studija o upotrebi [[Poluga|poluge]]. Baš kao što linearna sila može da gura ili vuče, obrtni moment se može zamisliti kao zavrtanje predmeta oko određene ose. Druga definicija obrtnog momenta je da je to proizvod magnitude sile i normalne udaljenosti linije delovanja sile od ose rotacije. Simbol obrtnog momenta je tipično <math>\boldsymbol\tau</math>, malo slovo [[Greek alphabet|grčkog slova]] ''[[Tau (slovo)|tau]]''. U kontekstu momenta sile, to se obično označava sa ''M''.

Oznaka za moment sile je veliko slovo M (na engleskom govornom području kao oznaka koristi se [[grčki jezik|grčko]] slovo <math>\tau</math> ({{jez-en|torque}})). [[SI izvedene jedinice|SI]] jedinica za moment sile je [[njutn (jedinica)|njutn]]-[[metar]].

== Formula ==

U tri dimenzije, obrtni moment je [[pseudovector|pseudovektor]]; za [[Materijalna tačka|materijalnu tačku]], on je dat [[Vektorski proizvod|vektorskim proizvodom]] vektora položaja ([[Vektor|vektora udaljenosti]]) i vektora sile. Jačina obrtnog momenta čvrstog tela zavisi od tri veličine: primenjene sile, ''vektora poluge''<ref>{{cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> koji povezuje tačku oko koje se meri obrtni moment i tačku primene sile, i ugla između vektora sile i poluge. Ovo se može izraziti simbolima kao:
:<math>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math>

:<math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math>
gde je
:<math>\boldsymbol\tau</math> vektor momenta i <math>\tau</math> je magnituda momenta,
:'''r''' je vektor pozicije (vektor od tačke oko koje se obrtni momenat meri do tačke u kojoj se primenjuje sila)
:'''F''' je vektor sile,
:× označava [[vektorski proizvod]], čime se proizivodi vektor koji je [[perpendicular|normalan]] na '''r''' i '''F''', u skladu sa [[right-hand rule|pravilom desne ruke]],
:<math> \theta</math> je ugao između vektora sile i vektora kraka poluge.

[[Međunarodni sistem jedinica|SI jedinica]] za momenat je N⋅m.

== Terminologija ==

[[James Thomson (engineer)|Džejms Tomson]], brat [[William Thomson, 1st Baron Kelvin|Lorda Kelvina]], uveo je termin {{jez-eng|torque}} u englesku naučnu literaturu 1884. godine.<ref>{{cite book
|url= https://archive.org/details/collectedpapers00larmgoog
|page= civ
|title= Collected Papers in Physics and Engineering
|first1= James
|last1= Thomson
|first2= Joseph
|last2= Larmor
|publisher= University Press
|date= 1912}}, at [https://books.google.com/books Google books]</ref> Međutim, koriste se različite varijante naziva, zavisno od geografskog položaja i polja proučavanja. U Velikoj Britaniji i u [[Mašinstvo|mašinstvu]] u SAD, primenjuje se naziv moment sile, obično skraćen na ''moment''.<ref name=Kane>Kane, T.R. Kane and D.A. Levinson (1985). ''Dynamics, Theory and Applications'' pp. 90–99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 Free download].</ref>

== Definicija i odnos sa ugaonim momentom ==
{{main|Ugaoni momenat}}
[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|Čestica se nalazi u položaju '''r''' u odnosu na svoju osu rotacije. Kada se na česticu primeni sila '''F''', samo okomita komponenta '''F'''<sub>⊥</sub> stvara obrtni moment. Ovaj obrtni moment '''τ'''&nbsp;=&nbsp;'''r'''&nbsp;×&nbsp;'''F''' ima magnitudu ''τ''&nbsp;=&nbsp;<nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<sub>⊥</sub><nowiki>|</nowiki>&nbsp;=&nbsp;<nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki>&thinsp;sin&thinsp;''θ'' i usmeren je izvan ravni.]]

Sila primenjena normalno na polugu pomnožena s njenim rastojanjem od [[Poluga|težišta poluge]] (dužinom kraka poluge) je njen obrtni moment. Na primer, sila od tri [[newton (unit)|njutna]] primenjena dva [[metre|metra]] od težišta, ima isti obrtni moment kao i sila jednog njutna, koja je primenjena šest metara od težišta. Smer obrtnog momenta može se odrediti korištenjem [[Pravilo desne ruke|pravila desne ruke]]: ako su prsti desne ruke savijeni od smera poluge prema smeru sile, tada je palac usmeren u pravcu momenta.<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|accessdate=2007-09-08}}</ref>

Generalnije, moment na čestici u tačci (koja ima položaj '''r''' u nekom referentnom okviru) može se definisati kao [[vektorski proizvod]]:
:<math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math>
gde je '''r''' [[vektor položaja]] čestice relativno na koordinatni početak, a '''F''' je sila koja deluje na česticu. Magnituda momenta, ''τ'', je data sa
:<math>\tau = rF\sin\theta,\!</math>
gde je ''r'' rastojanje od ose rotacije čestice, ''F'' je magnituda primenjene sile, i ''θ'' je ugao između pozicije i vektora sile. Alternativno,
:<math>\tau = rF_{\perp},</math>
gde je ''F''<sub>⊥</sub> količina sile usmerene normalno na poziciju čestice. Komponenta sile usmerena paralelno na poziciju čestice ne proizvodi momenat.<ref name="halliday_184-85">{{cite book|last1=Halliday|first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|title=Fundamentals of Physics|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1970|pages=184–85}}</ref><ref>{{Cite book|title=College Physics: A Strategic Approach|last=Knight|first=Randall|last2=Jones|first2=Brian|last3=Field|first3=Stuart|publisher=Pearson|others=Jones, Brian, 1960-, Field, Stuart, 1958-|year=2016|isbn=9780134143323|edition=Third edition, technology update|location=Boston|pages=199|oclc=922464227}}</ref>

Iz svojstava vektorskog proizvoda proizlazi da je vektor obrtnog ''momenta'' normalan na vektore ''položaja'' i ''sile''. Ekvivalentno tome, vektor obrtnog ''momenta'' definiše ravan u kojoj leže vektori ''položaja'' i ''sile''. Rezultirajući smer ''vektora momenta'' je određen pravilom desne ruke.<ref name="halliday_184-85" />

Neto obrtni moment na telu određuje brzinu promene [[Moment impulsa|ugaonog momenta]] tela,
:<math>\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>
gde je '''L''' vektor ugaonog momenta, a ''t'' je vreme.

Za kretanje tačkaste čestice važi,
:<math>\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},</math>
gde je {{math|''I''}} [[moment inercije]], a '''ω''' je orbitalna [[ugaona brzina]] pseudovektora. Iz ovoga sledi
:<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + \frac{\mathrm{d}(mr^2)}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + 2rp_{||}\boldsymbol{\omega},</math>
gde je '''α''' [[angular acceleration|ugaono ubrzanje]] čestice, a ''p''<sub>||</sub> je radijalna komponenta njenog [[Impuls|linearnog momenta]]. Ova jednačina je rotacioni analog [[Njutnovi zakoni|Njutnovog drugog zakona]] za tačkaste čestica, i važi za bilo koji tip putanje. Treba imati na umu da iako su sila i ubrzanje uvek paralelni i direktno proporcionalni, obrtni momenat '''τ''' ne mora biti paralelan ili direktno proporcionalan ugaonom ubrzanju '''α'''. Ovo proizilazi iz činjenice da iako se masa uvek biva očuvana, to generalno nije slučaj sa momenatom inercije.

== Razmatranje ==
Koncept momenta sile ili sprega sila posebno je važan za [[poluga|polugu]], kao jednu od prostih mašina, čiji je zakon, poznat još iz antičkih vremena, zahvaljujući [[Arhimed]]u. Sila primenjena na polugu pomnožena sa njenim najkraćim rastojanjem od oslonca poluge (krakom sile) jednaka je intenzitetu momenta ove sile. Na primer, sila od tri njutna koja deluje na rastojanju dva metra od oslonca poluge, ima isti moment kao sila od jednog njutna primenjena na šest metara od oslonca. Pri tome, podrazumeva se da je rastojanje ili krak sile u odnosu na oslonac mereno pod pravim uglom u odnosu na pravac sile (najkraće rastojanje). Na osnovu toga lako je zaključiti da je kod poluge sila toliko puta manja od mase tereta, koliko je puta njen krak veći od kraka tereta ([[Arhimedov zakon poluge]]).

Matematički, moment sile koji deluje na česticu (čiji je vektor položaja u nekom referentnom sistemu <math>\vec r</math>) može se definisati kao [[vektor#Vektorski proizvod|vektorski proizvod]] vektora položaja i vektora sile, odnosno:
:<math>\vec M = \vec r \times \vec F</math>
gde je <math>\vec r</math> vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema, a <math>\vec F</math> vektor sile koja deluje na česticu. Ili, na osnovu osobine vektorskog proizvoda, dobija se da je intenzitet (jačina) vektora momenta sile:
:<math>\ M = r F \sin \theta</math>
gde su <math>\ r</math> i <math>\ F</math> intenziteti vektora položaja i sile, respektivno, a <math>\ sin \theta </math> je [[Sinus (trigonometrija)|sinus]] ugla <math>\theta</math> između njih.

Pravac vektora momenta sile je normalan na ravan u kojoj leže vektor položaja i vektor sile. Smer vektora momenta sile određuje se “pravilom desnog zavrtnja”, što znači da je jednak smeru napredovanja desnog zavrtnja koji bi obrtali u smeru od vektora <math>\vec r </math> ka vektoru <math>\vec F</math>, kraćim putem. Ili, ako primenimo pravilo “kazaljki na satu”, pomeranje od vektora <math>\vec r </math> ka vektoru <math>\vec F</math>, kraćim putem, suprotno je smeru kretanja kazaljki na satu, posmatrano sa vrha vektora momenta sile <math>\vec M </math>.<ref>{{cite book |last=Vučić |first=Vlastimir M. |last2=Ivanović |first2=Dragiša M. |title=Fizika 1 |publisher=Naučna knjiga, 1986 |location=Beograd |edition=20}}</ref>

== Primer ==
Motor ima startni obrtni moment od 150 Nm. Ako točak pričvršćen na vratilo motora ima dijametar od 1 m, izračunaj kočionu silu da bi se sprečilo okretanje sistema vratila motora-točak.

Radijus je 0.5 m, dakle kočiona sila od:

<math>\mathbf{F}=\frac{M}{r} </math> = 300 N je potrebna. Ako je radijus 2 metra, sila od 75 Njutna bi bila dovoljna da spreči rotaciju.

== Povezano ==
* [[Sila]]

== Reference ==
{{reflist|2}}

== Vanjske veze ==
{{Commonscat|Torque}}
* {{Britannica|600049|Torque (moment of a force)}}
* [http://craig.backfire.ca/pages/autos/horsepower "Horsepower and Torque"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070328195944/http://craig.backfire.ca/pages/autos/horsepower |date=2007-03-28 }} An article showing how power, torque, and gearing affect a vehicle's performance.
* [http://kevinthenerd.googlepages.com/torque_vs_hp.html "Torque vs. Horsepower: Yet Another Argument"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090303160936/http://kevinthenerd.googlepages.com/torque_vs_hp.html |date=2009-03-03 }} An automotive perspective
* [http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m34.pdf ''Torque and Angular Momentum in Circular Motion ''] on [http://www.physnet.org/ Project PHYSNET].
* [http://www.phy.hk/wiki/englishhtm/Torque.htm An interactive simulation of torque]
* [http://www.lorenz-messtechnik.de/english/company/torque_unit_calculation.php Torque Unit Converter]
* [http://www.clarifyscience.info/part/ZoomB?v=A&p=CK6Ji&m=torque A feel for torque] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210508213327/http://www.clarifyscience.info/part/ZoomB?v=A&p=CK6Ji&m=torque |date=2021-05-08 }} An order-of-magnitude interactive.

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Mehanika]]
[[Kategorija:Rotacija]]
[[Kategorija:Fizikalne veličine]]
[[Kategorija:Sila]]