Izvorni kod stranice Neutral (matematika)

U [[matematika|matematici]], '''neutral''' (ili '''neutralni element''') je posebna vrsta elementa nekog [[skup]]a u odnosu na [[binarna operacija|binarnu operaciju]] na tom skupu. Neutral se odlikuje time što druge elemente skupa ostavlja nepromenjenim kada se sa njima kombinuje u toj operaciji. Neutrali se koriste u [[grupa (matematika)|grupama]] i [[magma (algebra)|povezanim konceptima]].

Neka je (''S'',*) skup ''S'' sa binarnom operacijom * definisanom na sebi. Tada se element ''e'' skupa ''S'' naziva '''levi neutral''' ako ''e''&nbsp;*&nbsp;''a''&nbsp;=&nbsp;''a'' za svako ''a'' iz ''S'', a '''desni neutral''' ako ''a''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''a'' za svako ''a'' iz ''S''. Ako je ''e'' ujedno i levi i desni neutral, onda se naziva '''dvostranim neutralom''', ili prosto '''neutralom'''.

Neutral u odnosu na sabiranje se naziva '''aditivnim neutralom''' (često se označava sa 0) a neutral u odnosu na množenje se naziva '''multiplikativni inverz''' (često se označava sa 1). Ova razlika se obično koristi za skupove koji imaju obe ove binarne operacije, kao što su [[prsten (matematika)|prsteni]].

== Primeri ==
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
!skup!!operacija!!neutral
|-
|[[realan broj|realni brojevi]]||+ (sabiranje)||[[0 (broj)|0]]
|-
|[[realan broj|realni brojevi]]||• (množenje)||[[1 (broj)|1]]
|-
|[[realan broj|realni brojevi]]||''a<sup>b</sup>'' (stepenovanje)||1 (samo desni neutral)
|-
<!-- ||'''R'''<sup>''n''</sup> ||• (množenje)|[[1 (broj)|1]] -->
|''m''-sa-''n'' [[matrica (matematika)|matrica]]|| + (sabiranje)||[[nula matrica]]
|-
|''n''-sa-''n'' kvadratne [[matrica (matematika)|matrice]]|| • (množenje)||[[jedinična matrica]]
|-
|sve [[funkcija|funkcije]] iz skupa ''M'' u samog sebe||∘ (kompozicija funkcija)||[[identiteta]]
|-
|sve [[funkcija|funkcije]] iz skupa ''M'' u samog sebe||* ([[konvolucija]])||δ ([[Dirakova delta]])
|-
|[[niska karaktera|niske karaktera]], liste|| [[konkatenacija]] || [[prazna niska]], prazna lista
|-
|[[prošireni skup realnih brojeva|prošireni realni brojevi]] || minimum/infinum || +∞
|-
|[[prošireni skup realnih brojeva|prošireni realni brojevi]] || maksimum/supremum || -∞
|-
|podskupovi skupa ''M'' || ∩ (presek) || ''M''
|-
|skupovi || ∪ (unija) || { } (prazan skup)
|-
|[[Bulova logika]] || ∧ (logičko i) || ⊤ (tačno)
|-
|[[Bulova logika]] || ∨ (logičko ili) || ⊥ (netačno)
|-
|samo dva elementa {''e'', ''f''}||* definisana kao<br /> ''e''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;= ''f''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''e'' and <br /> ''f''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;= ''e''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;''f''||i ''e'' i ''f'' su levi neutrali, ali ne postoji desni ili dvostrani neutral
|}

Kao što poslednji primer pokazuje, moguće je da <math> \left(S, \cdot \right) </math> ima više levih neutrala. U stvari, svaki element može biti levi neutral. Slično, može biti više desnih neutrala. Međutim, ako postoji i lesni neutral i levi neutral, onda su jednaki i postoji samo jedan dvostrani neutral. Da bi se ovo videlo, uočimo da ako je <math> l </math> levi neutral, a <math> r </math> desni, onda <math> l = l \cdot r = r </math>. Specijalno, nije moguće da postoji više od jednog dvostranog neutrala. Kada bi postojala dva, <math> e </math> i ''f'', onda <math> e \cdot f </math> bi moralo da bude jednako i <math> e </math> i <math> f </math>.

== Povezano ==
* [[Inverz]]
* [[Aditivni inverz]]
* [[Monoid]]

[[Kategorija:Apstraktna algebra]]
[[Kategorija:Algebra]]
[[Kategorija:Binarne operacije]]