Izvorni kod stranice Niz

U [[matematika|matematici]], '''niz''' je uređena lista objekata (ili događaja). Kao i [[skup (matematika)|skup]], niz sadrži [[element (matematika)|članove]] (ili ''elemente''), a njihov broj (koji može da bude beskonačan) se naziva ''dužinom'' niza. Za razliku od skupa, redosled članova niza je bitan, a isti element može da se pojavljuje više puta na različitim pozicijama u nizu.

Na primer, (D, V, H) je niz slova koji se razlikuje od niza (H, V, D), jer se gleda uređenje. Nizovi mogu da budu ''[[konačan skup|konačni]]'', kao u ovom primeru, ili ''[[beskonačan skup|beskonačni]]'', kao što je niz svih [[paran broj|parnih]] [[pozitivan broj|pozitivnih]] [[ceo broj|celih brojeva]] (2, 4, 6, ...).
[[Slika:Cauchy sequence illustration2.png|desno|mini|250p|Beskonačan niz realnih brojeva (plavo). Ovaj niz nije ni rastući ni opadajući, ni konvergentan, niti [[Košijev niz|Košijev]]. Međutim on jeste ograničen.]]

== Primeri i notacija ==
Niz može da se označi kao (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...). Radi kraćeg zapisa, koristi se i notacija (''a''<sub>''n''</sub>).

Formalnija definicija '''konačnog niza''' čiji su članovi u skupu ''S'' je [[funkcija (matematika)|funkcija]] iz {1, 2, ..., ''n''} u ''S'' za neko ''n'' ≥ 0. '''Beskonačan niz''' članova skupa ''S'' je funkcija iz {1, 2, ...} (skupa [[prirodan broj|prirodnih brojeva]] bez 0) u ''S''.

Indeksi nizova mogu da počinju i od 0, pa je tada prvi element niza ''a''<sub>0</sub>.

niz fiksne dužine, ''n'' se takođe naziva i [[n-torka|''n''-torkom]]. Konačni nizovi uključuju i ''prazan niz'' (), koji nema elemenata.

Funkcija iz skupa svih celih brojeva u neki skup se ponekad naziva i ''bi-beskonačnim nizom'', jer može da se posmatra kao niz indeksiran negativnim brojevima na koji je ''nalepljen'' niz indeksiran pozitivnim brojevima.

== Tipovi i svojstva nizova ==
[[Podniz]] datog niza je niz formiran od datog niza brisanjem nekih elemenata bez promene relativnih položaja preostalih elemenata.

Ako su članovi niza podskup nekog [[parcijalno uređen skup|uređenog skupa]], onda je ''monotono rastući'' niz onaj niz kod koga je svaki član veći ili jednak od prethodnog; ako je svaki član strogo veći od prethodnog, onda se radi o ''strogo monotono rastućem nizu''. Monotono opadajući niz je definisan na sličan način. Svaki niz koji ispunjava svojstvo [[monotona funkcija|monotonosti]] se naziva monotonim. Ovo je specijalni slučaj opštijeg pojma [[monotona funkcija|monotone funkcije]].

Izrazi ''neopadajući'' i ''nerastući'' se koriste kako bi se izbegla zabuna sa strogo neopadajućim i strogo nerastućim nizovima.

Ako su članovi niza [[ceo broj|celi brojevi]], onda je niz [[celobrojni niz]]. Ako su članovi niza [[polinom]]i, onda se radi o [[polinomijalni niz|polinomijalnom nizu]].

Ako ''S'' poseduje [[topologija|topologiju]], onda je moguće da se razmatra ''konvergencija'' beskonačnih nizova u ''S''. Takva razmatranja uključuju koncept [[limes niza|limesa niza]].

== Nizovi u analizi ==
U [[matematička analiza|analizi]], kada se govori o nizovima, obično se luka peisc

:<math>(x_1, x_2, x_3, \dots)\,</math> or <math>(x_0, x_1, x_2, \dots)\,</math>
što znači, beskonačni nizovi, indeksirani prirodnim brojevima.

Može da bude zgodno da indeks niza ne počinje od 1 ili 0. Na primer, niz definisan kao ''x<sub>n</sub>'' = 1/[[logaritam|log]](''n'') bi bio definisan samo za ''n'' &ge; 2.
Kada se govori o takvim beskonačnim nizovima, obično je dovoljno (i ne menja mnogo njihovo proučavanje) pretpostaviti da su članovi niza definisani za sve ''[[dovoljno velik]]e'', to jest, veće od nekog datog ''N''.)

Većina elementarnih tipova nizova su numeričkog tipa, to jest nizovi realnih ili [[kompleksan broj|kompleksnih brojeva]].

Ovaj tip može da se uopšti u nizove elemenata nekog [[vektorski prostor|vektorskog prostora]]. U analizi, proučavani vektorski prostori su često [[prostor funkcija|prostori funkcija]]. Još opštije, mogu da se proučavaju nizovi čiji elementi su iz nekog [[topološki prostor|topološkog prostora]].

== Redovi ==
{{glavni članak|Red (matematika)}}
Zbir članova niza je [[red (matematika)|red]]. Preciznije, ako je (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ...) niz, mogu da se posmatraju [[parcijalna suma|parcijalne sume]] (''S''<sub>1</sub>, ''S''<sub>2</sub>, ''S''<sub>3</sub>, ...), gde je 
:<math>S_n=x_1+x_2+\dots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.</math> 
Formalno, ovaj par nizova čini ''red'' sa elementima ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ..., što se označava kao 
:<math>\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i.</math> 
ako je niz parcijalnih suma konvergentan, takođe se koristi notacija beskonačne sume za njegov limes. Za detaljnije objašnjenje videti članak [[red (matematika)|red]].

== Beskonačni nizovi u teorijskom računarstvu ==
Beskonačni nizovi cifara ili karaktera iz [[konačan skup|konačne]] [[azbuka (računarstvo)|azbuke]] su od posebnog značaja u [[teorijsko računarstvo|teorijskom računarstvu]]. Često se nazivaju jednostavno ''nizovima'' (umesto konačnih ''niski''). Beskonačni binarni nizovi, na primer, su beskonačni nizovi [[bit]]ova (karaktera iz azbuke {0, 1}). Skup ''C'' = {0, 1}<sup>&infin;</sup> svih beskonačnih binarnih nizova se ponekad naziva [[Kantorov prostor|Kantorovim prostorom]].

Beksonačan binarni niz može da se predstavi [[formalni jezik|formalnim jezikom]] (skupom niski) postavljanjem ''n''&thinsp;tog bita niza na 1 [[ako i samo ako]] je ''n''&thinsp;ta niska deo jezika. Stoga, proučavanje [[klasa kompleksnosti]], koje su skupovi jezika, može da se posmatra kao proučavanje skupova beskonačnih nizova.

Beskonačan niz iz azbuke {0, 1, ..., b&minus;1} takođe može da es predstavi ako realan broj u osnovi -''b''. Ova ekvivalencija se često koristi da se tehnike [[realna analiza|realne analize]] uvedu u proučavanje klasa kompleksnosti.

== Nizovi kao vektori ==
Nizovi nad poljem takođe mogu da se posmatraju kao [[vektor (geometrija)|vektori]] u [[vektorski prostor|vektorskom prostoru]]. Specifično, skup nizova iz ''F'' (gde je ''F'' [[polje (matematika)|polje]]) je [[prostor funkcija]] (u stvari [[prostor proizvoda]]) funkcija sa vrednostima iz ''F'', nad skupom prirodnih brojeva.

Specifično, izraz ''[[prostor niza]]'' se obično odnosi na [[linerani potprostor]] skupa svih mogućih beskonačnih nizova sa elemenetima iz <math>\mathbb{C}</math>.

== Dvostrano-beskonačni nizovi ==
Obično izraz ''beskonačan niz'' podrazumeva niz koji je beskonačan u jednom smeru - ima prvi element ali nema poslednji element (''jednostrano-beskonačni niz''). ''Dvostrano-beskonačni niz'' je beskonačan u oba smera - nema ni prvi ni poslednji element. Jednostrano-beskonačni nizovi su funkcije iz skupa prirodnih brojeva ('''N''') u neki skup, dok su dvostrano-beskonačni nizovi funkcije iz skupa celih brojeva ('''Z''') u neki skup.

== Nizovi i automati ==
[[Teorija automata|Automati]] ili [[mašina konačnih stanja|mašine konačnih stanja]] se obično posmatraju kao uređeni grafovi čije su grane obeležene nekom specifičnom azbukom &Sigma;. Većina uobičajenih tipova automata prelaze iz jednog u drugo stanje čitanjem ulaznih slova iz azbuke &Sigma;, i prateći grane sa odgovarajućim natpisima; uređeni ulaz za takav automat formira niz koji se naziva ''reč'' (ili ulazna reč). Niz stanja kroz koja automat prolazi dok procesira reč se naziva prolazom. Nedeterministički automat može da ima neoznačene izlazne grane ili da ima više izlaznih grana sa istom oznakom, što daje više od jednog stanja za neka ulazna slova. Ovo se uglavnom posmatra kao pravljenje više mogućih prolaza za datu reč, od kojih svaki predstavlja niz pojedinačnih stanja, a ne kao pravljenje jednog prolaza koji ima niz skupa stanja; međutim izraz ''prolaz'' se nekad koristi i u ovom drugom značenju.

== Povezano ==
* [[Prostor nizova]]
* [[Permutacija]]
* [[Rekurentna relacija]]
* [[Podniz]]

=== Tipovi nizova ===
* [[Košijev niz]]
* [[Farejev niz]]
* [[Fibonačijev niz]]
* [[Aritmetička progresija]]
* [[Geometrijska progresija]]

=== Povezani koncepti ===
* [[Lista (računarstvo)]]
* [[Rekurzija (računarstvo)]]
* [[Torka]]
* [[Niz (struktura podataka)]]

=== Operacije na nizovima ===
* [[Limes niza]]
* [[Košijev proizvod]]

== Vanjske veze ==
* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html Onlajn enciklopedija celobrojnih nizova] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050419021115/http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html |date=2005-04-19 }}
* [http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/index.html Žurnal celobrojnih nizova] (besplatan)

[[Kategorija:Elementarna matematika]]
[[Kategorija:Nizovi i redovi|*]]