Izvorni kod stranice O veličini i udaljenosti Sunca i Mjeseca

{{naslov u kurzivu}}
[[Datoteka:Aristarchus working.jpg|mini|desno|250px|[[Aristarh sa Samosa|Aristarhov]] proračun relativnih veličina Sunca, Zemlje i Mjeseca (s lijeva na desno) iz 3. stoljeća pr. Kr. ([[Stara Grčka|starogrčka]] kopija iz 10. stoljeća).]]

[[Datoteka:Mondfinsternis 2008-08-16.jpg|mini|desno|250px|Djelomična [[pomrčina Mjeseca]].]]

'''''O veličini i udaljenosti Sunca i Mjeseca''''' ([[Starogrčki jezik|grč]]. ''Περὶ μεγεϑῶν ϰαὶ ἀποστημάτων Ἑλιου ϰαὶ Σελήνης''<ref>https://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=3810</ref>) je jedina sačuvana [[knjiga]] koju je napisao [[Aristarh sa Samosa]]. U ovoj knjizi Aristarh je izračunao veličinu [[Sunce|Sunca]] i [[Mjesec]]a, kao i njihovu udaljenost od [[Zemlja|Zemlje]].<ref>Vladis Vujnović : "Astronomija", Školska knjiga, 1989.</ref>

== Određenje omjera udaljenosti Sunca i Mjeseca ==

[[Datoteka:Solar eclipse 1999 4.jpg|mini|desno|250px|[[Pomrčina Sunca]] [[11. kolovoza]] [[1999.]] nedvosmisleno otkriva da su [[kutni promjer]]i Sunca i Mjeseca gotovo jednaki.]]

[[Sunce]], [[Mjesec]] i [[Zemlja]] nalaze se u prostoru na vrhovima [[trokut]]a kojemu se oblik mijenja u toku jednog [[Mjesec (razdoblje)|mjeseca]]. Za vrijeme [[Mjesečeve mijene|prve i zadnje četvrti]], Aristarh je pretpostavio da oni čine pravokutan trokut. Ukoliko se izmjeri kut između Sunca i Mjeseca ''φ'', omjer udaljenosti Sunca i Mjeseca se može izračunati korištenjem trigonometrije.

[[Datoteka:AristarchusHalfLitMoon2.png]]

Korištenjem skice (koja je prilično pojednostavljena jer u stvarnosti vrijedi ''S = 390 L'') i [[trigonometrija|trigonometrije]] možemo izračunati:

: <math> \frac{S}{L} = \frac{1}{\cos \varphi} = \sec \varphi. </math>

Aristarh je našao (nije poznato kako je to učinio) da [[kut]] između Sunca i Mjeseca ''φ'' iznosi 87°, pa se može izračunati:

: <math>18 < \frac{S}{L} < 20.</math>

Drugim riječima, Sunce otprilike 19 puta udaljenije od Mjeseca. Ovaj se izraz koristio slijedećih 2000 godina (do 17. stoljeća). Stvaran je omjer dvadeset puta veći. Aristarh je ustvari učinio malu pogrešku s obzirom na kut ''φ'': umjesto 89°51’ izmjerio je 87°.<ref>[http://eskola.hfd.hr/fizika_svemira/udaljenosti/u-mjesec.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160527084638/http://eskola.hfd.hr/fizika_svemira/udaljenosti/u-mjesec.html |date=2016-05-27 }} "Tečaj mjerenja svemirskih udaljenosti , 2. Udaljenost do Mjeseca", eskola.hfd.hr, 2014.</ref>

Omjer udaljenosti Sunca i Mjeseca pomaže da se odrede i njihov odnos veličina. Naime, [[kutni promjer]] Mjeseca i Sunca približno je jednak i iznosi oko 0.5°. Kutni promjer Mjeseca lako se i izravno mjeri. Za Sunce, zbog njegovog blijeska, izravan put je težak, pa mu se kutni promjer određuje na druga dva načina: ili iz vremena potrebnog da siđe pod [[obzor]] (horizont) ili kod pojave [[Pomrčina Sunca|pomrčine Sunca]]. Pomrčina Sunca nedvosmisleno otkriva da su kutni promjeri Sunca i Mjeseca gotovo jednaki. Zbog te sasvim slučajne podudarnosti, omjer promjera Sunca i Mjeseca jednak je omjeru njihovih udaljenosti (''s : l = S : L''). Iz Aristarhova bi dakle mjerenja proizlazilo da je Sunce 19 puta veće od Mjeseca.

== Mjerenje udaljenosti Mjeseca Zemljinim polumjerom ==

Aristarh je pronašao kako se promatranje [[pomrčina Mjeseca|pomrčine Mjeseca]] (prolazak Mjeseca kroz Zemljinu sjenu) iskoristi za određivanje Mjesečeve udaljenosti, mjerene Zemljinim polumjerom kao osnovnom mjerom. Pomrčina Mjeseca ovisi o rasporedu i veličini svih triju nebeskih tijela: Sunca, Zemlje i Mjeseca. Podatke koje je Aristarh dobio promatranjima, poboljšao je [[Hiparh]], a i samu je metodu usavršio.

[[Datoteka:AristarchusLunar Eclipse2.png]]

Ako se uzme u obzir sličnost [[trokut]]a, <math> \frac{D}{L} = \frac{t}{t-d} \quad </math> i <math>\quad \frac{D}{S} = \frac{t}{s-t}.</math>

Ukoliko se uzme u obzir da su [[kutni promjer]]i Mjeseca i Sunca približno jednaki, <math>\frac{L}{S} = \frac{\ell}{s}</math>, dobiva se:

: <math> \frac{\ell}{s} = \frac{t-d}{s-t} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{s-t}{s} = \frac{t-d}{\ell}  \ \ \Rightarrow \ \ 1 - \frac{t}{s} = \frac{t}{\ell} - \frac{d}{\ell} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{t}{\ell} + \frac{t}{s} = 1 + \frac{d}{\ell}.</math>

Desni izraz se može riješiti za ''ℓ/t'':

:<math> \frac{t}{\ell}(1+\frac{\ell}{s}) = 1 + \frac{d}{\ell} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{\ell}{t} = \frac{1+\frac{\ell}{s}}{1 + \frac{d}{\ell}}.</math>

ili ''s/t'':

:<math> \frac{t}{s}(1+\frac{s}{\ell}) = 1 + \frac{d}{\ell} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{s}{t} = \frac{1+\frac{s}{\ell}}{1 + \frac{d}{\ell}}.</math>

Izgled izraza se može pojednostaviti korištenjem ''n'' = ''d/ℓ'' i ''x'' = ''s/ℓ''.

: <math> \frac{\ell}{t} = \frac{1+x}{x(1+n)}</math>

: <math> \frac{s}{t} = \frac{1+x}{1+n}</math>

Slijedeći izrazi daju udaljenosti Mjeseca i Sunca premjerenih Zemljinim polumjerom:

: <math> \frac{L}{t} = \left( \frac{\ell}{t} \right) \left( \frac{180}{\pi \theta} \right) </math>

: <math> \frac{S}{t} = \left( \frac{s}{t} \right) \left( \frac{180}{\pi \theta} \right) </math>

gdje je: ''θ'' = [[kutni promjer]] Mjeseca i Sunca mjeren u [[Stupanj (kut)|stupnjevima]].

== Oznake ==

U [[proračun]]ima su uzete sljedeće oznake:

{| class="wikitable"
|- bgcolor="#efefef"
!Oznaka!!Značenje
|-
|align = "center"|''φ''||Kut između Mjeseca i Sunca za vrijeme [[Mjesečeve mijene|prve četvrti]] ([[mjerenje]])
|-
|align = "center"|''L''||Udaljenost od [[Zemlja|Zemlje]] do [[Mjesec]]a
|-
|align = "center"|''S''||Udaljenost od Zemlje do [[Sunce|Sunca]]
|-
|align = "center"|''ℓ''||[[Polumjer]] Mjeseca
|-
|align = "center"|''s''||Polumjer Sunca
|-
|align = "center"|''t''||Polumjer Zemlje
|-
|align = "center"|''D''||Udaljenost od centra Zemlje do vrha [[stožac|stožca]] što ga čini Zemljina sjena
|-
|align = "center"|''d''||Polumjer Zemljine sjene na Mjesecu
|-
|align = "center"|''n''||Odnos ''d/ℓ'' (mjeri se za vrijeme [[pomrčina Mjeseca|pomrčine Mjeseca]])
|-
|align = "center"|''x''||Odnos ''S/L'' = ''s/ℓ'' (izračunava se nakon mjerenja ''φ'')
|}

== Rezultati ==

Kada promatramo [[Sunce]] ono izgleda poput [[kugla|kugle]] [[Kutni promjer|kutnog promjera]] oko 0.5°. Kada bismo [[Nogometna lopta|nogometnu loptu]] postavili na udaljenost od 50 [[metar]]a, ona bi točno pokrivala Sunčevu ploču, pa možda stoga i nije čudno da su prva razmišljanja o Suncu vjerovatno vodila zaključku da se radi o običnoj vatrenoj lopti, prilično male veličine. Aristarh je najvjerovatnije bio prvi čovjek koji je shvatio da je Sunce u stvarnosti mnogo veće. Aristarh je najvjerovatnije bio prvi čovjek koji je shvatio da je Sunce u stvarnosti mnogo veće nego što izgleda. Premda je dakle Aristarh mislio da je Sunce samo 19 puta dalje nego Mjesec, i to je bilo dovoljno da mu postane jasno da je ono mnogo veće i od Mjeseca i od Zemlje i da to po svoj prilici znači da Zemlja vrti oko Sunca, a ne obratno. Tako je Aristarh postao prvi pobornik [[Heliocentrični sustav|heliocentričnog sustava]] koji će postati prihvaćen tek gotovo 2000 godina kasnije.<ref>[http://www.gimpoz.hr/repos/files/1351251005kako-su-izmjerene-udaljenosti-u-suncevom-sustav.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140525214105/http://www.gimpoz.hr/repos/files/1351251005kako-su-izmjerene-udaljenosti-u-suncevom-sustav.pdf |date=2014-05-25 }} Dr. Dragan Roša : "Kako su izmjerene udaljenosti u Sunčevom sustavu", www.gimpoz.hr, 2014.</ref>

[[Hiparh]] je poboljšao Aristarhova promatranja i otkrio da za vrijeme pomrčine Mjeseca u Zemljinu sjenu stanu 8/3 Mjesečeva promjera. Mjesec se među zvijezdama giba s [[brzina|brzinom]] od jednog kutnog promjera ili otprilike 0.5° u jednom [[sat]]u, pa mu za prolazak kroz Zemljinu sjenu, tamo gdje je najšira, treba od početka ulaza do početka izlaza 8/3 sata (2 sata i 40 minuta). Na osnovu toga se moglo zaključiti da je Zemlja 2.7 puta veća od Mjeseca.

Tablica koja pokazuje Aristarhove i današnje rezultate (osnova je polumjer Zemlje):

{| class="wikitable"
|- bgcolor="#efefef"
!Qu|Omjer||Odnos||Aristarh||Danas
|-align = "center"
|''s/t''||Polumjer Sunca u odnosu na polumjer Zemlje||6.7||109
|-align = "center"
|''t/ℓ''||Polumjer Zemlje u odnosu na polumjer Mjeseca||2.85||3.50
|-align = "center"
|''L/t''||Udaljenost Zemlje i Mjeseca s obzirom na polumjer Zemlje||20||60.32
|-align = "center"
|''S/t''||Udaljenost Zemlje i Sunca s obzirom na polumjer Zemlje||380||23 500
|}

Za usporedbu prema [[Hiparh]]ovim mjerenjima i rezultatima, udaljenost Zemlje i Mjeseca s obzirom na polumjer Zemlje je 67, a prema [[Klaudije Ptolemej|Klaudiju Ptolomeju]] 59.

== Reference ==
{{izvori}}

{{Historija fizike}}

{{Normativna kontrola}}

[[Kategorija:Starogrčki astronomi]]
[[Kategorija:Historija fizike]]