Izvorni kod stranice Pitagorina teorema

U [[Matematika|matematici]], '''Pitagorina teorema''' izražava vezu koja postoji između tri stranice pravouglog [[Trougao|trougla]] u [[euklidova geometrija|euklidskoj geometriji]]. Ako su ''a'' i ''b'' katete, a ''c'' hipotenuza pravouglog trougla, važi jednakost

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

odnosno, iskazano rečima:

{{izdvojeni citat|''Površina kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom pravouglog trougla jednak je zbiru površina kvadrata konstruisanih nad katetama tog trougla.''}}

[[Teorema]] je dobila ime prema [[antička Grčka|starogrčkom]] [[matematika|matematičaru]] [[Pitagora|Pitagori]], za koga se, tradicionalno, smatra da ju je otkrio i dokazao,<ref name="Heath">Heath, ''A History Of Greek Mathematics, volume I'', str. 144</ref> iako je danas izvesno da je bila poznata mnogo pre Pitagore.

[[Pitagora|Pitagorina]] teorema je jedna od osnovnih i najznačajnijih matematičkih teorema. Prepoznatljiva slika pravouglog trougla sa konstruisanim [[kvadrat]]ima nad sve tri stranice, korišćena za vizuelni prikaz samog tvrđenja, poslužila je kao osnova za generisanje [[fraktal]]a koji se naziva [[Pitagorino drvo]].

== Historija ==
[[Datoteka:Chinese pythagoras.jpg|mini|300px|Vizuelni dokaz Pitagorine teoreme za [[trougao]] čije su stranice [[Pitagorina trojka]] (3, 4, 5) iz jednog od najstarijih [[Kina|kineskih]] matematičkih tekstova, 500–200&nbsp;pne.]]
Istorijski posmatrano, otkriće i razumevanje Pitagorine teoreme je prošlo kroz nekoliko etapa:
* algebarsko istraživanje postojanja [[Pitagorina trojka|Pitagorinih trojki]],
* bolje upoznavanje odnosa između stranica pravouglog [[Trougao|trougla]], odnosno odnosa između susednih [[Ugao|uglova]] trougla, koje je posledica sticanja sve većih znanja o ravnima i površima i
* nalaženje velikog broja različitih [[dokaz]]a teoreme.

=== Drevne civilizacije ===
Veza koja postoji između stranica trougla čije su dužine 3, 4 i 5 bila je poznata još [[Vavilon]]cima, 2000 godina pre [[Hristos|Hrista]],<ref name="andric">{{cite book |title=Pitagorini brojevi |last=Andrić|first=Vojislav |year=1989 |publisher=Arhimedes|location= Beograd |isbn= |pages= str. 1 }}</ref> a može se naći i u čuvenoj [[Kina|kineskoj]] knjizi ''Devet knjiga o matematičkoj veštini'' za koju se pretpostavlja da je napisana oko 1100. godine p. n. e.<ref name="smith">Smith, ''History of Mathematics, volume II'', str. 288</ref> [[Stari Egipat|Stari Egipćani]] su znali za četiri Pitagorine trojke, o čemu svedoči [[papirus]] datiran u vreme vladavine [[Spisak staroegipatskih vladara#XII Dinastija: 1991. – 1782.|XII dinastije]], oko 2000. godine p. n. e, u kome je, između ostalog, moguće naći i relaciju
: <math>1^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(1\frac{1}{4}\right)^2\, </math>.<ref name=smith/>

Ona je ekvivalentna Pitagorinoj trojki (3, 4, 5) ako se izraz proširi da bi se oslobodio od [[razlomak]]a.

Pitagorine trojke mogu se naći i u ''Sulvasutrama'', svetim pesmama [[Hindusi|Hindusa]], iz perioda 5 — 4. vek p. n. e, koje govore o načinu dobijanja pravih uglova pomoću užeta sa 3-4-5, odnosno 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 i 12-35-37 čvorova vezanih na jednakim rastojanjima. Korišćenje konopca za određivanje pravog ugla imalo je u davna vremena svoju praktičnu primenu u npr. parcelisanju zemljišta, a ljudi koji su se time bavili nazivani su ''zatezačima konopca'' ({{jez-gr|Λρπεδονάπται}}, harpedonaptai).<ref name="strojk">[[Dirk Strojk|Strojk]], ''Kratak pregled istorije matematike'', str. 21</ref> Međutim, prema nekim autorima, malo je verovatno da su Egipćani zaista koristili uže sa 12 čvorova za određivanje pravog ugla, i nema očiglednih dokaza da su znali da je trougao sa stranicama (3, 4, 5) pravougli.<ref name="Maor15">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', str. 15</ref>

=== Pitagora ===
Tradicionalno, otkriće teoreme se pripisuje [[Pitagora|Pitagori]], starogrčkom filozofu i naučniku, o kome se danas zna posredno, preko kasnijih izvora. Prema njima, Pitagora je rođen oko 570. godine p. n. e. na ostrvu [[Samos]], verovatno je bio [[Tales iz Mileta|Talesov]] učenik, a jedan deo svog života proveo je putujući [[Stari Egipat|Egiptom]] i [[Ahemenidsko carstvo|Persijom]], da bi se, po povratku na rodni Samos, susreo sa tiranskom vladavinom [[Polikrat]]a, što je, smatra se, bio razlog da se preseli u [[Kroton (grad)|Kroton]] gde je osnovao čuvenu [[Pitagorejci|Pitagorejsku školu]].<ref>Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', str. 17.</ref> Pitagorejci su tvrdili da je teoremu otkrio upravo Pitagora, i da je, u znak zahvalnosti, žrtvovao [[bog]]ovima stotinu [[Krava|bikova]].<ref>Strojk, ''Kratak pregled istorije matematike'', str. 52</ref> Problem sa preciznim utvrđivanjem prave istine je posledica činjenice da su Pitagorejci prenosili usmenim putem stečena znanja koja su smatrana svetim i strogo su čuvana. Pored toga, često su se nova otkrića pripisivala velikom učitelju, dok je pravi pronalazač ostajao nepoznat. U prilog tome stoji činjenica da se u iskazu teoreme koji se pojavljuje u [[Euklid]]ovim [[Euklidovi Elementi|''Elementima'']] nigde ne spominje Pitagorino ime.<ref name="Maor42">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', str. 42.</ref> Danas postoji nekoliko hipoteza:
* Pitagora je preuzeo [[Teorema|teoremu]] od [[Vavilon]]aca, odnosno samo je bio posrednik između znanja koja su dolazila sa Istoka i [[Antička Grčka|Grka]]. Iako je, prema antičkim izvorima, Pitagora posetio Egipat i Vavilon, te informacije nisu pouzdane.
* Pitagora je formulisao i po prvi put [[dokaz]]ao teoremu nezavisno od vavilonskih izvora. Ovaj pristup je bio široko prihvaćen u drevna vremena.
* Pitagora je za teoremu čuo na svojim putovanjima, ali je bio prvi čovek koji je i dokazao. Sasvim je jasno da ni Egipćani ni Vavilonci nisu išli dalje od svakodnevne primene teoreme u praktične svrhe. Na primer, u [[Kairo|Kairskom]] [[papirus]]u, otkrivenom [[1938]]. godine, i dešifrovanom [[1962]]. godine, nalazi se 40 matematičkih zadataka od kojih je devet rešeno upotrebom Pitagorine teoreme. Jedan od tih zadataka glasi:
:„''Merdevine dugačke 10 lakata naslonjene su na zid tako da je njihovo podnožje udaljeno 6 lakata od ivice zida. Do koje visine se pružaju te merdevine?''“
:Međutim, iako se pri rešavanju problema koristi teorema, nema pokušaja da se ona uopšti, niti da se dokaže.<ref>{{cite book |title=The History of Mathematics - An Introduction |last=Burton|first=David M.  |year=2005 |publisher=McGraw-Hill|location=  |isbn=978-0-390-63234-1 |pages= str. 81}}</ref>
* Pitagora nije učestvovao u otkriću teoreme, već su prvi dokaz našli njegovi učenici.<ref>{{cite web|url=http://plato.stanford.edu/entries/pythagoras/#WasPytMatCos |title=Pythagoras - 5. Was Pythagoras a Mathematician or Cosmologist?|accessdate = 22. 3. 2009}}</ref>

Prvo sačuvano delo u kome se Pitagora povezuje sa iskazom teoreme je [[Plutarh]]ov [[Plutarh#Moralija|''Etički zbornik - Moralija'']], napisan krajem [[1. vek|prvog]] ili početkom [[2. vek|drugog veka n. e.]] U njemu se citiraju stihovi iz jednog nesačuvanog [[Apolodor]]ovog dela iz [[2. vek p. n. e.|drugog veka p. n. e.]] Prema Plutarhu,
{{izdvojeni citat|''kada je Pitagora otkrio taj čuveni stav,<br />zbog toga je ponudio sjajnu žrtvu volova.''}}
Iste stihove navodi i Atenaj iz Neukratisa, u svom delu ''Gozba učenih'', početkom [[3. vek|trećeg veka n. e.]]<ref>{{cite book |title=Ogledi iz istorije antičke geometrije |last=Lučić |first=Zoran  |year=2009 |publisher=Službeni glasnik|location= Beograd |isbn=978-86-519-0117-4 |pages= str. 97}}</ref>

=== Sledbenici ===
Prvi pisani dokaz Pitagorine teoreme pojavljuje se tek 150 godina kasnije, u prvoj i šestoj knjizi [[Euklid]]ovih [[Euklidovi Elementi|''Elemenata'']], pri čemu je, prema [[Proklo|Proklu]], dokaz iz šeste knjige jedini originalni Euklidov dokaz u ''Elementima'', dok je dokaz iz prve knjige pripisan [[Eudoks]]u.<ref name=Maor42/>

Oko 250. godine p. n. e. [[Arhimed]] aproksimira vrednost broja [[pi]] koristeći Pitagorinu teoremu i upisane i opisane [[mnogougao|poligone]] u [[krug]]. U 2. veku p. n. e, [[Klaudije Ptolemej]] u svom ''[[Almagest]]u'' dokazuje [[Ptolemejeva teorema|teoremu]]:
:„''Proizvod [[dijagonala]] [[Tetivni četvorougao|tetivnog četvorougla]] jednak je zbiru proizvoda njegovih naspramnih ivica.''“<ref>{{cite book |title=Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije |last=Mitrović |first=Milan et al.  |year=1988 |publisher=Krug|location=Beograd  |isbn=86-7136-054-7 |pages= str. 166}}</ref>
Odavde se, u specijalnom slučaju kada je tetivni četvorougao u stvari [[pravougaonik]], dobija Pitagorina teorema.

[[Heron]] iz [[Aleksandrija|Aleksandrije]] je kasnije<ref>Zbog nedostatka izvora teško je odrediti kada se to tačno desilo. Prema knjizi ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'' u pitanju je period između 100. godine p. n. e. i 100. godine n. e.</ref> dokazao [[Heronova formula|formulu]] kojom se može izračunati površina proizvoljnog [[Trougao|trougla]] preko njegovih stranica korišćenjem proporcija. Danas se ta formula dokazuje korišćenjem Pitagorine teoreme.

U 3. veku n. e. [[Papos]] dokazuje proširenu verziju Pitagorine teoreme koja važi za proizvoljan trougao, a šest vekova kasnije, Al Harani daje dokaz još jedne generalizacije koja je primenjiva na proizvoljan trougao.

== Formulacija teoreme ==
[[Datoteka:Pythagorean proof.svg|mini|200px|Vizuelni dokaz Pitagorine teoreme]]
Prema teoremi:
<blockquote>U bilo kom [[Pravougli trougao|pravouglom trouglu]], površina [[kvadrat]]a konstruisanog nad [[Hipotenuza|hipotenuzom]] (stranicom koja se nalazi nasuprot pravog ugla) je jednaka zbiru površina kvadrata konstruisanih nad katetama (stranicama koje se sustiču u pravom uglu trougla).</blockquote>

Ovaj iskaz se obično navodi u sledećem obliku:
{{izdvojeni citat|''Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.''}}

Ukoliko je sa ''c'' označena [[dužina]] hipotenuze, a sa ''a'' i ''b'' dužine preostale dve stranice, teorema se može zapisati pomoću sledeće jednakosti:

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

ili, ako se odatle izrazi ''c'':

: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>

Ako je hipotenuza ''c'' poznata, a treba odrediti jednu od kateta, moguće je koristiti neku od sledeće dve jednakosti (koje se dobijaju iz polazne jednakosti, rešavanjem po odgovarajućoj nepoznatoj):

: <math>c^2 - a^2 = b^2\, </math>

ili

: <math>c^2 - b^2 = a^2\, </math>

Iz navedenih jednakosti može se primetiti da je veza između stranica pravouglog trougla takva da, u slučaju da je jedna od njih nepoznate dužine, može se odrediti pomoću preostale dve poznate stranice. Generalizacija ove teoreme, poznata kao [[kosinusna teorema]], omogućava izračunavanje dužine treće stranice proizvoljnog trougla, ukoliko su poznate dužine preostale dve stranice i veličina ugla koje one zahvataju, što je jedna od postavki zadatka koji se naziva [[rešavanje trougla]]. Ukoliko poznate stranice određuju prav ugao, kosinusna teorema se svodi na Pitagorinu teoremu.

=== Neeuklidske geometrije ===
[[Datoteka:Triangle esfèric.png|mini|130px|Sferni trougao]]
{{Vidi još|Neeuklidske geometrije}}
U [[Sferna geometrija|sfernoj geometriji]], na [[Jedinična sfera|jediničnoj sferi]], za pravougli [[sferni trougao]] ABC kome su dužine stranica redom a, b i c, Pitagorina teorema ima oblik
: <math>\cos a=\cos b\cdot\cos c. </math><ref>{{cite book |title=Trigonometrija |last=Dugošija|first=Đorđe|coauthors=Živorad Ivanović, Lazar Milin|year=1999 |publisher=„Krug“|location=Beograd|isbn=86-7136-058-X|pages= str. 84-86}}</ref>
Ukoliko je poluprečnik sfere dužine <math>\scriptstyle R</math>, jednakost postaje
:<math>\cos \frac{a}{R}=\cos \frac{b}{R} \cdot\cos \frac{c}{R}.</math><ref>Ova jednakost se dobija kao specijalan slučaj [[Kosinusna teorema (sferna geometrija)|kosinusne teoreme]] za [[sferni trougao]]. Ukoliko se kosinusna funkcija razvije pomoću [[Kolin Makloren|Maklorenovog]] [[Maklorenov red|reda]], moguće je pokazati da će se navedeni oblik Pitagorine teoreme približavati svom euklidskom ekvivalentu kada poluprečnik sfere teži [[beskonačnost]]i.</ref>

U [[Hiperbolička geometrija|hiperboličkoj ravni]] predstavljenoj [[Anri Poenkare|Poenkareovim]] modelom diska, ukoliko je trougao ABC pravougli sa katetama a, b i hipotenuzom c, Pitagorina teorema ima oblik
:<math>\cosh c=\cosh a\cdot\cosh b, </math><ref>{{cite web|url=http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/node70.html|title=Hiperbolička geometrija|accessdate=24. 2. 2009|archive-date=2011-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20110406075209/http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/node70.html}}<br />Za dokaz pogledati {{cite web|url=http://www.math.uncc.edu/~ghetyei/courses/old/S06.6118/hypsin.pdf|title=Sines and cosines in the Poincar´e disk model of the hyperbolic plane|accessdate=24. 2. 2009}}{{Dead link|date=May 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}.</ref>
pri čemu je [[Kosinus hiperbolični|hiperbolički kosinus]] definisan sa
:<math>\cosh x=\frac{e^x + e^{-x}}{2}. </math>

=== Hilbertovi prostori ===
{{Vidi još|Hilbertov prostor}}
Uobičajena [[Vektor#Intenzitet vektora|norma]] na [[Realan broj|realnom]] [[euklidov prostor|euklidskom prostoru]] <math>\scriptstyle R^{k}</math> se uvodi pomoću [[Skalarni proizvod vektora|skalarnog proizvoda]]. [[Vektorski prostor]] sa normom uvedenom pomoću skalarnog proizvoda se naziva pred-Hilbertovim prostorom. Ako je pred-Hilbertov prostor [[Metrički prostor#Kompletnost|kompletan]] u odnosu na svoju metriku, naziva se [[Hilbertov prostor|Hilbertovim prostorom]]. Ovo je uvek slučaj u [[Dimenzija vektorskog prostora|konačnodimenzionim]] prostorima kakav je <math>\scriptstyle R^{k}</math>, ali beskonačnodimenzioni pred-Hilbertovi prostori ne moraju biti Hilbertovi.

Ukoliko je u realnom prostoru <math>\scriptstyle X</math> sa skalarnim proizvodom (pred-Hilbertovom prostoru) uvedena norma vektora sa
:<math>\left\|x\right\|=\sqrt{x\cdot x}</math>,
uz odgovarajuće osobine<ref>Za osobine pogledati D. Adnađević, Z. Kadelburg,''Matematička analiza II'', str. 268</ref>, onda za [[Ortogonalnost|ortogonalne]] [[vektor]]e <math>\scriptstyle x</math> i <math>\scriptstyle y</math> Pitagorina teorema dobija oblik
:<math>\left\|x+y\right\|^2=\left\|x\right\|^2+\left\|y\right\|^2</math>.<ref name="Analiza2">{{cite book |title=Matematička analiza II|last=Kadelburg|first=Zoran|authorlink=Zoran Kadelburg|coauthors=Dušan Adnađević|year=1991 |publisher=Zavod za udžbenike i nastavna sredstva|location= Beograd|isbn=86-17-01783-X |pages= str. 267-273}}</ref>

== Dokazi ==
Pitagorina teorema je vekovima služila kao inspiracija za nove matematičke [[dokaz]]e, koje su pronalazili i ljudi koji nisu bili profesionalni matematičari. U knjizi ''Pitagorino tvrđenje'' ({{jez-engl|The Pythagorean Proposition}}) Iliše Skota Lumisa ({{jez-engl|Elisha Scott Loomis}}), izvorno objavljenoj [[1927]]. godine, koja je dopunjena novim dokazima [[1940]]. godine, moguće je naći sve poznate dokaze do njenog objavljivanja, ukupno njih 371. Između ostalih tu su navedeni [[Pitagora|Pitagorin]] i [[Euklid]]ov dokaz, zatim najkraći i najduži dokaz koji se pripisuju [[Adrijen-Mari Ležandr|Ležandru]], [[Klaudije Ptolemej|Ptolemejev]], [[Leonardo da Vinči|Leonardov]], [[Kristijan Hajgens|Hajgensov]] i [[Gotfrid Vilhelm Lajbnic|Lajbnicov]] dokaz kao i dokaz [[Džejms A. Garfild|Džejmsa Garfilda]], iz vremena pre nego što je postao [[Predsednik Sjedinjenih Američkih Država|predsednik SAD]].<ref name="Maor">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History''</ref>

=== Pitagorin dokaz ===
Iako postoje materijalni dokazi da je veza između [[kateta]] i [[Hipotenuza|hipotenuze]] pravouglog trougla bila poznata još drevnim civilizacijama, ono što je odlučilo da [[teorema]] ponese Pitagorino ime je činjenica da ju je on prvi [[dokaz]]ao. Međutim, kako u njegovo vreme nije bilo adekvatnog materijala za zapisivanje, stečena znanja su se kod [[Pitagorejci|pitagorejaca]] prenosila usmenim putem, te ne postoji pouzdan izvor na osnovu koga bi sa sigurnošću moglo da se tvrdi kako je izgledao originalni Pitagorin dokaz. [[Euklid]] je u svojim [[Euklidovi Elementi|''Elementima'']] dao dva dokaza teoreme, najpre u prvoj knjizi,<ref>Euklid, ''Elementi'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_47.HTML knjiga I, tvrđenje XLVII], Pristupljeno 23. 4. 2013.</ref> dokaz koji se u potpunosti zasniva na odnosima površina, a zatim i u šestoj knjizi,<ref name="euklidVI">Euklid, ''Elementi'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID06_T_31.HTML knjiga VI, tvrđenje XXXI], Pristupljeno 23. 4. 2013.</ref> dokaz koji koristi [[Sličnost (geometrija)|sličnost]] i znatno je jednostavniji. S obzirom da [[geometrija]] u vreme Pitagore nije bila dovoljno razvijena, malo je verovatno da je on koristio prvi dokaz, a ako je koristio drugi, onda on nije bio kompletan, pošto je potpunu teoriju srazmernosti dao tek [[Eudoks]], koji je živeo dva veka posle Pitagore. Sa druge strane, vrlo je verovatno da je Pitagora najpre dokazao teoremu u slučaju jednakokrakog pravouglog trougla, pošto je taj dokaz bio poznat još Hindusima, te ga je mogao čuti na svojim putovanjima po [[Sredozemno more|Mediteranu]]. Da li je dokazao i opšti slučaj nije poznato, ali se pretpostavlja da ga je razmatrao. Tradicionalno mu se pripisuje dokaz opšteg slučaja koji je bio poznat još u drevnoj [[Kina|Kini]].<ref name=Maor/>

=== Euklidovi dokazi ===
U svojim [[Euklidovi Elementi|''Elementima'']] [[Euklid]] dokazuje Pitagorinu teoremu na dva mesta, najpre u prvoj, a zatim i u šestoj knjizi. Prvi dokaz je prilično zahtevan za praćenje, i prema [[Proklo|Proklu]], pripada Euklidovom prethodniku [[Eudoks]]u, kao i teorija proporcionalnosti izložena u petoj knjizi ''Elemenata''.<ref name=Maor/> Postoje različita tumačenja zašto je Euklid izabrao da u prvoj knjizi teoremu dokaže na teži način, iako su u njegovo vreme bili poznati jednostavniji dokazi. Sa jedne strane, većina tih dokaza je podrazumevala podelu [[Pravougli trougao|pravouglog trougla]] na manje, [[Sličnost (geometrija)|slične]] [[Trougao|trouglove]] i korišćenje osobina proporcionalnosti za izvođenje odgovarajuće jednakosti, ali one su izložene tek u petoj knjizi, dok je sličnost obuhvaćena šestom knjigom. Sa druge strane, kako su stari Grci sve [[Aritmetika|aritmetičke operacije]] interpretirali kroz [[Geometrija|geometriju]], vrlo je verovatno da se Euklidu prvi dokaz prirodno nametnuo – jer je posmatrao Pitagorinu teoremu kao odnos između površina. Prema Proklu, drugi dokaz je u potpunosti Euklidov, štaviše, to je jedini originalni Euklidov dokaz u ''Elementima''.<ref name=Maor/>

[[Datoteka:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|mini|Dokaz iz prve knjige [[Euklid]]ovih [[Euklidovi Elementi|''Elemenata'']]]]
Suština prvog dokaza je da, ako su sa ''A'', ''B'' i ''C'' označena temena pravouglog trougla sa pravim uglom kod temena ''A'', i ako se iz tog temena spusti visina na [[Hipotenuza|hipotenuzu]] koja se produži do naspramne stranice [[kvadrat]]a nad hipotenuzom, ona će podeliti taj kvadrat na dva [[pravougaonik]]a, čije će površine biti jednake površinama kvadrata nad bližom [[Kateta|katetom]].

Za formalan dokaz, najpre je potrebno pokazati da važe sledeće elementarne leme:
# (SUS stav prema podudarnosti trouglova) Ako su dve stranice jednog trougla jednake sa dve stranice drugog trougla, i ako su uglovi koje zahvataju ti parovi jednakih stranica takođe jednaki, onda su trouglovi podudarni.<ref>Euklid, ''Elementi'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_4.HTML knjiga I, tvrđenje IV], Pristupljeno 23. 4. 2013.</ref>
# Površina trougla je jednaka polovini površine bilo kog paralelograma konstruisanog nad dvema stranicama tog trougla.<ref>Euklid, ''Elementi'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_41.HTML knjiga I, tvrđenje XLI], Pristupljeno 23. 4. 2013.</ref>
# Površina bilo kog pravougaonika jednaka je proizvodu dve susedne stranice.
# Površina bilo kog kvadrata jednaka je proizvodu dve njegove stranice (sledi iz prethodne leme).

Intuitivna ideja dokaza je da se kvadrati nad katetama transformišu u paralelograme iste površine, koji se zatim novom transformacijom uklapaju u pravougaonike na koje je podeljen kvadrat nad hipotenuzom.<ref>Radi jednostavnijeg praćenja dokaza pogledati sledeći [http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/bookI/images/bookI-47.html vizuelni dokaz], [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/morey.shtml transformaciju] prikazanu pomoću java-apleta, i [http://www.takayaiwamoto.com/Pythagorean_Theorem/Euclid_47_anim.gif animaciju].</ref>

[[Datoteka:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|mini|180px|Slika sa ucrtanim novim dužima]]
# Neka je ACB pravougli [[trougao]] sa pravim uglom kod temena A.
# Na svakoj od stranica BC, AB i CA nacrtani su kvadrati CBDE, BAGF i ACIH respektivno.
# Iz tačke A spuštena je normala na stranicu BC koja je produžena do preseka sa stranicom DE i ujedno je paralelna sa BD i CE. Njeni preseci sa stranicama BC i DE su redom označeni sa K i L.
# Spajanjem tačaka C i F, odnosno A i D, dobijaju se trouglovi BCF i BDA.
# Uglovi CAB i BAG su pravi, pa su tačke C, A, i G [[Kolinearnost|kolinearne]]. Slično se zaključuje za tačke B, A i H.
# Uglovi CBD i FBA su pravi, što znači da je ugao ABD jednak uglu FBC, pošto su oba jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC.
# Kako je stranica AB jednaka stranici FB, a BD jednaka BC, trougao ABD je podudaran sa trouglom FBC.
# Kako su tačke A, K i L kolinearne, [[pravougaonik]] BDLK ima dvostruko veću površinu od trougla ABD.
# Kako su tačke C, A i G kolinearne, kvadrat BAGF ima dvostruko veću površinu od trougla FBC.
# Iz prethodnog sledi da pravougaonik BDLK ima istu površinu kao kvadrat BAGF, koja je jednaka AB<sup>2</sup>.
# Slično, moguće je pokazati da pravougaonik CKLE mora da ima istu površinu kao kvadrat ACIH koja iznosi AC<sup>2</sup>.
# Sabiranjem dobijenih jednakosti biće AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BD × BK + KL × KC
# Kako je BD = KL, važi BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
# Odatle je AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BC<sup>2</sup>, pošto je CBDE kvadrat.

[[Datoteka:Pythagoras generalizatoin 1.JPG|mini|levo|150px|Primer generalizacije Pitagorine teoreme]]
[[Datoteka:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|mini|levo|150px|Dokaz iz šeste knjige [[Euklid]]ovih [[Euklidovi Elementi|''Elemenata'']]]]

Moguće je da je [[Euklid]] bio svestan težine ovog dokaza, i da je zbog toga u šestoj knjizi dokazao malo opštiji slučaj Pitagorine teoreme koristeći sličnost. Prema tom tvrđenju, kod pravouglog trougla, geometrijski lik (bez ograničenja da to mora biti [[kvadrat]]) konstruisan nad [[Hipotenuza|hipotenuzom]] jednak je po površini zbiru površina sličnih i slično konstruisanih geometrijskih likova nad [[kateta]]ma.<ref name=euklidVI/>
# Neka je ACB pravougli [[trougao]] sa pravim uglom kod temena C.
# Analogno prethodnom dokazu, potrebno je spustiti normalu iz temena pravog ugla na hipotenuzu. Podnožje normale označeno je sa H.
# Kako je AB normalno na CD i AC normalno na CB, uglovi HAC i HCB su jednaki kao uglovi sa normalnim kracima.
# Posledica je da su trouglovi AHC i CHB međusobno slični, i slični polaznom trouglu ACB, pa su njihove odgovarajuće stranice proporcionalne.
# Iz jednakosti AB/AC=AC/AD i AB/BC=BC/BD, unakrsnim množenjem dobija se da važi AC<sup>2</sup>=ABxAD i BC<sup>2</sup>=ABxBD.
# Sabiranjem dobijenih jednakosti biće AC<sup>2</sup>+BC<sup>2</sup>=ABxAD+ABxBD=ABx(AD+BD)
# Kako je AD+BD=AB, važi AC<sup>2</sup>+BC<sup>2</sup>=ABxAB=AB<sup>2</sup>.

Pored navedenih tvrđenja, Euklid je u prvoj knjizi ''Elemenata'' dokazao i tvrđenje u suprotnom smeru od Pitagorine teoreme, prema kome je pravougli trougao jedini trougao kod koga važi jednakost a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>.<ref>Euklid, ''Elementi'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_48.HTML knjiga I, tvrđenje XLVIII], Pristupljeno 23. 4. 2013.</ref>

=== Garfildov dokaz ===
[[Datoteka:Teorema de Pitágoras.Garfield.svg|mini|150px|Slika uz [[Džejms A. Garfild|Garfildov]] dokaz Pitagorine teoreme]]
Još jedan posebno značajan geometrijski dokaz, u kome se ne koriste kvadrati nad stranicama, otkrio je negde oko [[1876]]. godine [[Džejms A. Garfild|Džejms Garfild]], koji je kasnije postao dvadeseti [[Predsednik Sjedinjenih Američkih Država|predsednik SAD]]. Prema Iliši Lumisu, dokaz je bio posledica jedne Garfildove matematičke rasprave sa ostalim članovima Kongresa.<ref name=Maor/>

Ideja dokaza je da se na polazni [[trougao]] nadoveže još jedan njemu podudaran, tako da se kraća [[kateta]] prvog i duža kateta drugog nalaze na jednoj pravoj i da polaze iz istog temena. Zatim se spajanjem preostala dva temena trouglova koja pripadaju [[hipotenuza]]ma dobija pravougli [[trapez (geometrija)|trapez]] čije su osnovice dužine ''a'' i ''b'', a visina dužine ''a''+''b''. Sa jedne strane, njegova površina se može dobiti kao proizvod poluzbira osnovica i visine, a sa druge kao zbir površina tri trougla na koje je podeljen, pa važi:
:<math> \frac {(a+b)^2} 2 = \frac {{ab}} 2 + \frac {{ab}} 2 + \frac {c^2} 2 \,\, \Rarr \,\, a^2 + b^2 = c^2  </math>

=== Leonardov dokaz ===
[[Datoteka:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|mini|200px|[[Leonardo da Vinči|Leonardov]] dokaz Pitagorine teoreme]]
[[Datoteka:Pythagoras theorem leonardo da vinci.png|mini|200px|Ideja [[Leonardo da Vinči|Leonardovog]] dokaza Pitagorine teoreme]]
Sledeći dokaz se pripisuje čuvenom [[italija]]nskom umetniku i naučniku [[Leonardo da Vinči|Leonardu da Vinčiju]]<ref>{{cite book |title=Matematički vremeplov|last=Petković| coauthors= Petković, Ljiljana|first=Miodrag|year=2006 |publisher=Zmaj|location= Novi Sad| isbn = 86-489-0553-2|pages= str. 212}}</ref>, a oslanja se na [[osna simetrija|simetriju]] i [[rotacija|rotaciju]].<ref>Radi jednostavnijeg praćenja dokaza pogledati sledeću [http://www.takayaiwamoto.com/Pythagorean_Theorem/Euclid_47_5_anim.gif animaciju] i [http://www.math.csusb.edu/courses/m129/leo_pyth.html transformaciju] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081120085300/http://www.math.csusb.edu/courses/m129/leo_pyth.html |date=2008-11-20 }} koju je moguće interaktivno napraviti uz podršku java-apleta.</ref>
# Neka je ''ABC'' pravougli [[trougao]] sa pravim uglom kod temena ''C''.
# Nad svakom od stranica ''CA'', ''BC'' i ''AB'' konstruisani su [[kvadrat]]i ''ACED'', ''BCFG'' i ''ABHJ'' respektivno.
# Nad stranicom ''HJ'' konstruisan je trougao ''HJI'' koji je podudaran trouglu ''ABC'', ali je u odnosu na njega zarotiran za 180[[lučni stepen|°]] (stepeni).
# [[Šestougao]] ''AJIHBC'' je prepolovljen svojom dijagonalom ''CI''.
# Spajanjem tačaka ''E'' i ''F'' dobija se šestougao ''ABGFED'', koji je prepolovljen svojom dijagonalom ''DG''. Trouglovi ''ABC'' i ''ECF'' su simetrični u odnosu na dijagonalu ''DG'', što za posledicu ima da su tačke ''D'', ''C'' i ''G'' [[Kolinearnost|kolinearne]].
# Ako se četvorougao ''DABG'' zarotira oko tačke ''A'' za 90[[lučni stepen|°]] (u smeru kretanja kazaljke na satu na priloženoj slici), poklopiće se sa četvorouglom ''CAJI'', što znači da oni imaju jednake površine. To je posledica činjenice da su uglovi ''DAC'' i ''BAJ'' pravi, što znači da je ugao ''DAB'' jednak uglu ''CAJ'', pošto su oba jednaka zbiru pravog ugla i ugla ''CAB''. Slično, ugao ''AJI'' je jednak uglu ''ABG'', jer su oba jednaka zbiru pravog ugla i ugla ''ABC''. To znači da duž ''AD'' prelazi u ''AC'', duž ''AB'' prelazi u ''AI'', a duž ''BG'' u ''JI''.
# Kako četvorouglovi ''DABG'' i ''CAJI'' imaju jednake površine (recimo, ''S''), i šestouglovi ''ABGFED'' i ''AJIHBC'' imaju međusobno jednake površine (2''S''). Ako se iz šestougla ''ABGFED'' izostave podudarni trouglovi ''ABC'' i ''ECF'', njegova površina se smanjuje na zbir površina kvadrata ''ACED'' i ''BCFG''. Sa druge strane, ako se iz površine šestougla ''AJIHBC'' izuzmu površine podudarnih trouglova ''ABC'' i ''HJI'', dobijena površina je jednaka površini kvadrata ''ABHJ'', a odatle neposredno sledi jednakost ''AC''<sup>2</sup>+''BC''<sup>2</sup>=''AB''<sup>2</sup>.

=== Dokaz Džordža Ejrija ===
[[Engleska|Engleski]] [[matematika|matematičar]] i [[astronom]], [[Džordž Bidel Ejri]], svoj dokaz je formulisao u stihu koji je bio ispisan na pratećoj slici, i u originalu glasi:
{{izdvojeni citat|''I am, as you can see, <br />a² + b² - ab<br />When two triangles on me stand,<br />Square of hypothenuse is plann'd<br />But if I stand on them instead<br />The squares of both sides are read.''<ref>{{cite web|url=http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/pitagora/exh_pitagora/scheda3.html#2|title=Još jedan vrlo jednostavan dokaz|accessdate=22. 11. 2008|archive-date=2023-10-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20231030080134/http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/pitagora/exh_pitagora/scheda3.html#2}}</ref>}}

što bi se moglo prevesti na [[srpski jezik]] sa:
:„''Ja sam, kao što se vidi, a² + b² - ab. Kada na meni stoje dva trougla, dobija se kvadrat nad hipotenuzom. Ali, ako ja stojim na njima dobijaju se kvadrati nad katetama.''“

Ideja dokaza je da se uoči beli [[petougao]] koji je zajednički element za obe strane jednakosti. Na priloženoj slici on je dobijen tako što su [[kvadrat]] stranice a i kvadrat stranice b postavljeni na istu pravu i naslonjeni jedan na drugi, a zatim su im oduzeta dva plava pravougla [[Trougao|trougla]] čije su katete dužina a i b. Površina tog petougla je upravo a² + b² - ab. Ukoliko se na njega nadovežu dva crvena trougla podudarna sa plavim trouglovima, površina tog drugog lika će biti c² čime je teorema dokazana.

== Uopštenja teoreme ==
=== Kosinusna teorema ===
[[Datoteka:Driehoek-cosinusregel.png|mini|150px|Nejednakostraničan oštrougli trougao]]
{{Vidi još|Kosinusna teorema}}
Jedna od značajnih generalizacija Pitagorine teoreme je [[kosinusna teorema]], koja, pored pravouglih, važi i za oštrougle i tupougle trouglove, odnosno, može se primeniti na proizvoljan trougao. Ako su temena, stranice i uglovi trougla označeni kao na slici, važe jednakosti:

: <math>\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha,</math>
: <math>\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta,</math>
: <math>\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma.</math><ref>{{cite book |title=Trigonometrija |last=Dugošija|first=Đorđe|coauthors=Živorad Ivanović, Lazar Milin|year=1999 |publisher=„Krug“|location=Beograd| isbn = 86-7136-058-X|pages= str. 68}}</ref>

Sabirak viška se može interpretirati kao dvostruki [[skalarni proizvod vektora]] određenih odgovarajućim stranicama. Kada je <math>\gamma</math> prav ugao, biće <math>\cos\gamma = 0 </math>, pa se tada poslednja jednakost svodi na Pitagorinu teoremu.

=== Prostorna Pitagorina teorema ===
[[Datoteka:De gua theorem 2.svg|mini|150px|[[Tetraedar]] ABCO.]]
Jedan prostorni analogon Pitagorine teoreme je specijalan slučaj [[Kosinusna teorema|kosinusne teoreme]] za [[tetraedar]], prema kojoj, za površine strana tetraedra ABCO označene sa <math>\scriptstyle S_O</math>, <math>\scriptstyle S_A</math>, <math>\scriptstyle S_B</math> i <math>\scriptstyle S_C</math>, koje su naspramne odgovarajućim temenima u svom indeksu, i za [[diedar|diedarske uglove]] pri ivicama ''OA'' (diedarski ugao ''α''), ''OB'' (''β'') i ''OC'' (''γ''), važi jednakost:

: <math>S^{2}_{O} = S^{2}_{A} + S^{2}_{B} + S^{2}_{C} - 2S_{B}S_{C}\cos\alpha - 2S_{C}S_{A}\cos\beta - 2S_{A}S_{B}\cos\gamma. </math><ref>{{cite web|url=http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/nm/230/nm513406.pdf|title=Milorad Beljić, ''Kosinusna teorema za tetraedar''|accessdate = 23. 10. 2008}}</ref>

Ako su uglovi <math>\scriptstyle \alpha</math>, <math>\scriptstyle \beta</math> i <math>\scriptstyle \gamma</math> pravi, tako da je [[triedar]] pri temenu ''O'' pravougli, prethodna jednakost se svodi na:

: <math>S^{2}_{O} = S^{2}_{A} + S^{2}_{B} + S^{2}_{C}, </math>

što se može smatrati jednim uopštenjem Pitagorine teoreme u prostoru <math>\scriptstyle R^{3}</math>. Ovu teoremu je [[Francuska|francuski]] matematičar [[Žan-Pol de Gija de Malves]] prezentovao pariskoj Akademiji nauka [[1783]]. godine, zbog čega nosi njegovo ime, iako je bila poznata još [[Rene Dekart|Dekartu]].<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/deGuasTheorem.html|title=de Gua's Theorem|accessdate = 23. 10. 2008}}</ref>

=== Parsevalova jednakost ===
{{Vidi još|Parsevalova jednakost}}
Uopštenje Pitagorine teoreme na beskonačnodimenzionim [[separabilni prostor|separabilnim]] [[Pred-Hilbertov prostor|pred-Hilbertovim prostorima]] je poznato kao [[Mark Antoan Parseval|Parsevalova]] jednakost. Ako je <math>\scriptstyle X</math> jedan takav prostor prostor, a <math>\scriptstyle\left\{e_{1},e_{2},\cdots\right\}</math> jedna njegova [[ortonormalna baza]], tada za svaki vektor <math>\scriptstyle x\in X</math> važi: 
:<math>\sum_{n=1}^{+\infty}\left(x\cdot e_n\right)^2 = \left\|x\right\|^2</math><ref name=Analiza2/>.

== Posledice i upotreba teoreme ==
=== Pitagorine trojke ===
{{Vidi još|Pitagorina trojka}}
Pitagorina trojka je [[Uređeni par#Uređena n-torka|uređena trojka]] [[Prirodan broj|prirodnih brojeva]] x, y i z za koje važi jednakost x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>, odnosno, Pitagorinu trojku čine celobrojne dužine stranica pravouglog trougla. [[Vavilonija|Vavilonske]] glinene tablice<ref>Videti [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html YBC 7289] i [http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html Plimpton 322]</ref> ({{jez-engl|YBC 7289, Plimpton 322}}) koje su datirane u period 1800-1600. godine p. n. e. pokazuju da su takve trojke bile poznate mnogo pre Pitagore. Danas nije najjasnije kakvu su upotrebnu vrednost imala ta znanja. Prema nekim izvorima<ref>{{cite web|url=http://www.maa.org/news/monthly105-120.pdf|title=Eleanor Robson, Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|accessdate = 16. 11. 2008}}</ref>, čini se da je u pitanju spisak gotovih rešenja jednog problema koji je omogućavao drevnom predavaču [[Matematika|matematike]] da bez dodatnih izračunavanja odmah proveri tačnost učeničkih radova.

Svaka Pitagorina trojka je oblika (''ka'',&nbsp;''kb'',&nbsp;''kc''), gde je ''k'' prirodan broj i (''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'') primitivna Pitagorina trojka (odnosno čine je [[uzajamno prosti brojevi]]). Različitih primitivnih Pitagorinih trojki ima beskonačno mnogo i poznata je njihova eksplicitna [[parametarska jednačina|parametrizacija]].

=== Geometrijska konstrukcija iracionalnih brojeva ===
{{glavni|Konstruktibilni brojevi}}
[[Datoteka:Square root of 2 triangle.svg|mini|levo|150px|[[Koren iz 2]] je konstruktibilan broj - pravougli trougao sa katetama jedinične dužine ima dijagonalu dužine &nbsp;√2]]
Otkriće [[iracionalan broj|iracionalnih brojeva]] se pripisuje [[Pitagorejci]]ma, ali nije precizno poznato da li su do njih došli proučavanjem [[geometrijska sredina|geometrijske sredine]] ili razmatranjem dužine dijagonale kvadrata.<ref>Strojk, ''Kratak pregled istorije matematike'', str. 53</ref> Pored toga što su ustanovili da postoje ''nesamerljivi'' brojevi, pokazali su da se oni mogu konstruisati što je ozbiljno ugrozilo njihovo verovanje da je u osnovi svega ono što se danas naziva [[racionalan broj|racionalnim brojem]], pa je otkriće strogo čuvano. Postoji legenda da je jedan od članova bratstva, koji se drznuo da javno govori o tome, za kaznu utopljen u moru.<ref>Heath, ''A History Of Greek Mathematics, volume I'', str. 154.</ref>

Iako se ne mogu izraziti u obliku količnika dva [[ceo broj|cela broja]], neki iracionalni brojevi se mogu [[Konstrukcije lenjirom i šestarom|konstruisati pomoću lenjira i šestara]]. Tako se √2, koji se ponekad naziva i ''Pitagorinom konstantom''<ref>{{cite book |title=Mathematical Constants |url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc |last=Finch|first=Steven R.|year=2003 |publisher=Cambridge University Press|location= Cambridge|isbn=0-521-81805-2|pages= str. 1}}</ref>, može dobiti kao [[hipotenuza]] pravouglog trougla kome su obe katete jedinične dužine. Ukoliko su katete dužina 1 i √2, hipotenuza će biti dužine √3 i slično za kvadratni koren proizvoljnog prirodnog broja.

Ne mogu se svi pozitivni iracionalni brojevi konstruisati pomoću lenjira i šestara: takvi, [[konstruktibilni brojevi]] čine poseban podskup skupa [[algebarski broj|algebarskih brojeva]] i stoga ih ima [[prebrojiv skupx|prebrojivo mnogo]], dok je ostalih, nekonstruktibilnih realnih brojeva neprebrojivo mnogo; nekonsktruktibilni su, na primer, brojevi <math>\sqrt[3]{2}</math>, cos&nbsp;20°, [[Broj e|''e'']] (Ermit 1871), [[Pi|''π'']] (Lindeman 1882), i mnogi drugi.

=== Bazelski problem ===
{{Vidi još|Bazelski problem}}
[[Italija]]nski [[matematika|matematičar]] [[Pjetro Mengoli]] je [[1644]]. godine postavio pitanje određivanja zbira recipročnih vrednosti kvadrata svih [[prirodan broj|prirodnih brojeva]]. Iako je postavka problema relativno jednostavna, na rešenje se čekalo skoro čitav vek, jer je tek [[Leonard Ojler|Ojler]] [[1735]]. godine objavio rezultat, za koji je [[1741]]. godine i dokazao da je zaista traženi zbir. Korišćenjem matematičke notacije, Bazelski problem se može zapisati na sledeći način:

:<math>
\sum_{n=1}^{+\infin} \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6},
</math>

a zbir datog reda se može geometrijski [[Aproksimacija|aproksimirati]] korišćenjem Pitagorine teoreme. Konstrukcijom pravouglog trougla sa [[kateta]]ma dužine 1 i 1/2 dobija se [[hipotenuza]] čija je dužina kvadratni koren zbira prva dva člana datog reda. Ukoliko se zatim nad tom hipotenuzom kao katetom konstruiše novi pravougli trougao kome je druga kateta dužine 1/3, njegova hipotenuza će imati dužinu jednaku kvadratnom korenu iz zbira prva tri člana istog reda. Produžavanjem postupka u [[beskonačnost]] dužina hipotenuze svakog sledećeg [[Trougao|trougla]] je sve bliža vrednosti <math>\frac{\pi}{\sqrt{6}}</math>.

=== Rastojanje između dve tačke u analitičkoj geometriji ===
{{Vidi još|Analitička geometrija}}
Formula za rastojanje između dve tačke u [[Rene Dekart|Dekartovom]] [[Dekartov koordinatni sistem|pravouglom koordinatnom sistemu]] je izvedena pomoću Pitagorine teoreme. Ako su <math>\scriptstyle A\,=\,(x_a,y_a)</math> i <math>\scriptstyle B\,=\,(x_b,y_b)</math> dve tačke u [[Ravan|ravni]], onda je njihovo [[Euklidska razdaljina|euklidsko rastojanje]]:

:<math>\left|AB\right| = \sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2}.</math><ref>{{cite book |title=Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole |last=Kečkić|first=Jovan D.|year=1994 |publisher=Zavod za udžbenike i nastavna sredstva|location= Beograd|isbn=86-17-02963-3|pages= str. 111}}</ref>

U opštem slučaju, u višedimenzionom [[euklidov prostor|euklidskom prostoru]], rastojanje između tačaka <math>\scriptstyle A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> i <math>\scriptstyle B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)</math> se određuje formulom:

:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>

=== Fermaova poslednja teorema ===
{{Vidi još|Poslednja Fermaova teorema}}
Poslednja Fermaova teorema je tvrđenje koje je [[Pjer de Ferma|Pjer Ferma]] zapisao bez dokaza na margini [[Diofant]]ove druge knjige ''Aritmetike'', a tiče se pitanja da li postoje prirodni brojevi koji bi zadovoljavali uopštenje jednačine kojom se definišu Pitagorine trojke. Tvrđenje do koga je došao otprilike [[1637]]. godine,<ref>{{cite book |title=Fermaova poslednja teorema |last=Sing|first=Sajmon|year=1999 |publisher=DN centar|location= Beograd|isbn=86-83239-01-2|pages= str. 62}}</ref> da ne postoje prirodni brojevi ''a'', ''b'' i ''c'' za koje važi jednakost

: <math>a^n + b^n = c^n\, </math>

kad god je ''n'' [[prirodan broj]] veći od 2, bilo je vekovima pretpostavka, a dokazao ga je tek [[Endru Vajls]] [[1995]]. godine.

== Obrnuta Pitagorina teorema ==
Takozvana Obrnuta Pitagorina teorema glasi: ''Ako za dužine stranica trougla a ≤ b < c važi da je a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>, tada je dati trougao pravougli''.

== Pominjanje Pitagorine teoreme u opštoj kulturi ==
U knjizi ''Autobiografija'' [[Branislav Nušić]] navodi formulaciju teoreme u stihu:
{{izdvojeni citat|''Kvadrat od hipotenuze,<br />To zna svako dete,<br />Ravan je kvadratima<br />Od obe katete.''<ref>{{cite book |title=Autobiografija |last=Nušić|first=Branislav|authorlink=Branislav Nušić|year=1963 |publisher=Novinsko-izdavačko preduzeće „Jež“|location= Beograd|isbn=|pages= str. 125,127}}</ref>}}

[[Nemačka|Nemački]] [[pesnik]] i [[botanika|botaničar]], [[Adelbert fon Šamiso]], posvetio je jednu svoju pesmu otkriću Pitagorine teoreme.<ref>Pogledati originalni tekst na nemačkom, i prevod na engleski Brajana Kola: {{cite web|url=http://colecizj.easyvserver.com/pgchapyt.htm|title=Adalbert von Chamisso, ''Vom Pythagoreischen Lehrsatz''|accessdate = 22. 11. 2008}}</ref>

Na jednoj od sedam slika [[Francuska|francuskog]] [[slikar]]a [[Loran de la Er|Lorana de la Era]] ({{jez-fr|Laurent de La Hyre}}) koje predstavljaju [[sedam slobodnih veština]], drevni [[trivijum]] i [[kvadrivijum]], pod nazivom ''Alegorija Geometrije'' prikazana je žena koja u desnoj ruci drži [[pergament]] sa nekoliko geometrijskih slika.<ref>{{cite web|url=http://www.ateg.org/whitfield.phpx|title=Laurent de La Hyre (1601-1666), Allegory of Geometry|accessdate=16. 11. 2008|archive-date=2016-03-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20160307142025/http://ateg.org/whitfield.phpx|dead-url=yes}}</ref> Prva u nizu je upravo slika koju je [[Euklid]] dao u svom dokazu Pitagorine teoreme u prvoj knjizi [[Euklidovi Elementi|''Elemenata'']].<ref name=Maor/>

U filmu [[Viktor Fleming|Viktora Fleminga]] [[Čarobnjak iz Oza (film iz 1939)|„Čarobnjak iz Oza“]], snimljenom prema istoimenoj knjizi [[L. Frenk Baum|L. Frenka Bauma]], postoji scena<ref>{{cite web|url=http://www.youtube.com/watch?v=DUCZXn9RZ9s|title=Insert iz filma [[Čarobnjak iz Oza (film iz 1939)|„Čarobnjak iz Oza“]]|accessdate = 15. 11. 2008}}</ref> u kojoj jedan od glavnih junaka, Strašilo, u trenutku kada dobija na poklon od Čarobnjaka diplomu, demonstrira svoje znanje eksplicitno navodeći netačan iskaz teoreme u sledećem obliku:
{{izdvojeni citat|''Zbir kvadratnih korena bilo koje dve stranice jednakokrakog trougla je jednak kvadratnom korenu treće stranice.''<ref>{{cite web|url=http://www.imdb.com/character/ch0004328/quotes|title=Replike Strašila iz filma „Čarobnjak iz Oza“|accessdate=15. 11. 2008|archivedate=2010-09-26|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100926184601/http://www.imdb.com/character/ch0004328/quotes|deadurl=yes}}</ref>}}

Strašilovu formulaciju citira [[Homer Džej Simpson|Homer Simpson]] u desetoj epizodi petog serijala serije „[[Simpsonovi]]“, nakon što upotrebi naočari [[Henri Kisindžer|Henrija Kisindžera]] nađene u toaletu [[Springfildska nuklearna elektrana|springfildske nuklearke]]. Za razliku od Strašilovog iskaza koji ostaje netačan, u [[Crtani film|crtanoj seriji]] se iz pozadine čuje glas koji delimično ispravlja Homera („''U pitanju je pravougli trougao, idiote.''“).<ref>{{cite web|url=http://www.imdb.com/title/tt0701040/quotes|title=Replike Simpsonovih iz epizode „$pringfild“|accessdate = 15. 11. 2008}}</ref>

U [[Grčka|Grčkoj]], [[Japan]]u, [[San Marino|San Marinu]], [[Republika Makedonija|Makedoniji]] i [[Surinam]]u su izdate [[Poštanska marka|poštanske marke]] sa karakterističnim vizuelnim prikazom Pitagorine teoreme.<ref>{{cite web|url=http://members.tripod.com/jeff560/stamps.html|title=Images of Mathematicians on Postage Stamps|first=Jeff|last=Miller|date=|accessdate=7. 10. 2008}} <br /> Pogledati poštanske marke izdate u [https://web.archive.org/web/19991006221840/http://members.tripod.com/jeff560/theorem.jpg Grčkoj], [http://members.tripod.com/jeff560/pythagoras7.jpg Japanu], [https://web.archive.org/web/20041222054811/http://members.tripod.com/jeff560/pythag3.jpg San Marinu], [http://members.tripod.com/jeff560/pythagoras6.jpg Makedoniji] i [http://members.tripod.com/jeff560/theorem2.jpg Surinamu].</ref>

U [[Uganda|Ugandi]] je [[2000]]. godine pušten u opticaj [[Novac|novčić]] u obliku pravouglog trougla, na čijoj je zadnjoj strani lik Pitagore i algebarski zapis teoreme, uz tekst „Pitagorin milenijum“.<ref>{{cite web|url=http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|title=Le Saviez-vous?|accessdate=7. 10. 2008|archivedate=2009-09-21|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090921060307/http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|deadurl=yes}}</ref>

Karakteristična slika koja simboliše Pitagorinu teoremu se može videti i na [[grb]]u [[Švedska|švedskog]] inženjera Kristofera Polhema ({{jez-šv|Christopher Polhem}}).<ref>{{cite web|url=http://www.numericana.com/arms/polhem.htm |title=Christopher Polhem (1661-1751).Swedish engineer, knighted in 1716.|accessdate = 24. 2. 2009}}</ref>

U sedamnaestoj i trideset četvrtoj knjizi engleskog izdanja [[strip]]a [[Asteriks]] pojavljuje se lik mladog rimskog [[Arhitekta|arhitekte]] Kvadratnadhioptenuzisa ({{jez-en|Squareonthehypothenus}}), čije je ime inspirisano teoremom.<ref>{{cite web |url=http://www.asterix.com/encyclopedia/characters/squareonthehypothenus.html |title=Squareonthehypothenus |accessdate=20. 2. 2011 |archivedate=2010-11-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20101120003750/http://asterix.com/encyclopedia/characters/squareonthehypothenus.html |deadurl=yes }}</ref>

== Reference ==
{{reflist}}

== Vanjske veze ==

* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.html Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080720150513/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.html |date=2008-07-20 }}
* [http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF Dijkstra's generalization]
* [http://www.tmeg.com/bab_mat/bab_mat.htm Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme]

{{Commonscat|Pythagorean theorem}}

[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Ugao]]