Izvorni kod stranice Podgrupa

U [[teorija grupa|teoriji grupa]], za datu [[grupa (matematika)|grupu]] ''G'' u odnosu na [[binarna operacija|binarnu operaciju]] *, kažemo da je neki [[podskup]] ''H'' od ''G'' '''podgrupa''' od ''G'' ako ''H'' takođe gradi grupu u odnosu na operaciju *. Preciznije, ''H'' je podgrupa ''G'' ako je restrikcija * na ''H'' operacija grupe na ''H''.

'''Prava pogrupa''' grupe ''G'' je podgrupa ''H'', koja je [[podskup|pravi podskup]] od ''G'' (t. j. ''H'' ≠ ''G''). '''Trivijalna podgrupa''' bilo koje grupe je podgrupa {''e''} koja se sastoji samo od neutrala. Ako je ''H'' podgrupa od ''G'', ponekad se kaže da je ''G'' ''nadgrupa'' od ''H''.

Iste definicije važe u opštijem obliku kada je ''G'' proizvoljna [[polugrupa]], ali ovaj članak se bavi samo podgrupama grupa. Grupa ''G'' se ponekad označava [[uređeni par|uređenim parom]] (''G'',*), obično da naglasi operaciju * kada ''G'' nosi više algebarskih ili drugih struktura.

U ostatku članka ćemo koristiti uobičajenu konvenciju izostavljanja simbola * i pisanja proizvoda ''a''*''b'' jednostavno kao ''ab''.

== Osnovna svojstva podgrupa ==
* ''H'' je podgrupa grupe ''G'' [[ako i samo ako]] je neprazna i zatvorena za proizvod i inverze. (Zatvorenost znači sledeće: kad god su ''a'' i ''b'' unutar ''H'', tada je i ''ab'' i ''a''<sup>−1</sup> su takođe unutar ''H''. Ova dva uslova mogu da se spoje u jedan ekvivalentan uslov: kad god su ''a'' i ''b'' unutar ''H'', tada je i ''ab''<sup>−1</sup> unutar ''H''.) U slučaju kada je ''H'' konačno, tada je ''H'' podgrupa ako i samo ako je ''H'' zatvoreno u odnosu na proizvode. (U ovom slučaju, svaki element ''a'' iz ''H'' generiše konačnu [[ciklična grupa|cikličnu podgrupu]] od ''H'', i inverz od ''a'' je tada ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>''n'' − 1</sup>, gde je ''n'' red od ''a''.
* Gornji uslov se može izreći u terminima [[homomorfizam]]a; to jest, ''H'' je podgrupa grupe ''G'' ako i samo ako je ''H'' podskup od ''G'' i postoji inkluzioni homomorfizam (t. j., i(''a'') = ''a'' za svako ''a'') iz ''H'' u ''G''.
* Neutral podgrupe je neutral grupe: ako je ''G'' grupa sa neutralom ''e''<sub>''G''</sub>, i ''H'' je podgrupa od ''G'' sa neutralom ''e''<sub>''H''</sub>, tada je ''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>.
* Inverz elementa podgrupe je inverz elementa grupe: ako je ''H'' podgrupa od ''G'', i ''a'' i ''b'' su elementi iz ''H'', takvi da ''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub>, tada ''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub>.
* Presek podgrupa ''A'' i ''B'' grupe ''G'' je takođe podgrupa. Unija ''A'' i ''B'' je podgrupa ako i samo ako ili ''A'' sadrži ''B'' ili obratno, jer na primer 2 i 3 su u uniji 2Z i 3Z ali njihova suma 5 nije.
* Ako je ''S'' podskup od ''G'', tada postoji minimalna podgrupa koja sadrži ''S'', koja se može naći uzimanjem preseka svih podgrupa koje sadrže ''S''; ovo se označava sa <''S''> i naziva se podgrupom generisanom sa ''S''. Element iz ''G'' je unutar <''S''> ako i samo ako je konačan proizvod elemenata ''S'' i njihovih inverza.
* Svaki element ''a'' iz grupe ''G'' određuje (generiše) cikličnu podgrupu <''a''>. Ako je <''a''> izomorfno sa '''Z'''/''n'''''Z''' za neki pozitivan ceo broj ''n'', onda je ''n'' najmanji pozitivan ceo broj za koji ''a''<sup>''n''</sup> = ''e'', i ''n'' se naziva ''redom'' od ''a''. Ako je <''a''> izomorfno sa '''Z''', tada se kaže da je ''a'' ''beskonačnog reda''.

== Primer ==
Neka je ''G'' [[Abelova grupa]] čiji su elementi
:''G''={0,2,4,6,1,3,5,7}
i čija je operacija grupe [[modularna aritmetika|sabiranje po modulu osam]]. Njena [[Kejlijeva tabela]] je
{| border="2" cellpadding="7"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">7
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0
| <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2
| <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4
| <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6
| <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1
| <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3
| <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5
| <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">7
| <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6
|}

Ova grupa ima par netrivijalnih podgrupa: ''J''={0,4} i ''H''={0,2,4,6}, gde je ''J'' takođe podgrupa od ''H''. Kajlijeva tabela za ''H'' je gornji levi kvadrant Kajlijeve tabele za ''G''. Grupa ''G'' je [[ciklična grupa|ciklična]], pa su i njene podgrupe ciklične. Uopšteno, podgrupe cikličnih grupa su ciklične..

== Koseti i Lagranžova teorema ==
Ako je data podgrupa ''H'' i neko ''a'' iz G, definišemo '''levi [[koset]]''' ''aH'' = {''ah'' : ''h'' iz ''H''}. Kako je ''a'' inverzibilno, preslikavanje φ : ''H'' → ''aH'' definisano kao φ(''h'') = ''ah'' je [[bijekcija]]. Štaviše, svaki element iz ''G'' se nalazi u tačno jednom levom kosetu od ''H''; levi koseti su klase ekvivalencije u odnosu na [[relacija ekvivalencije|relaciju ekvivalencije]] ''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub> [[ako i samo ako]] je ''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub> u ''H''. Broj levih koseta ''H'' se naziva ''indeksom'' ''H'' u ''G'', i označava se sa [''G'' : ''H''].

[[Lagranžova teorema (teorija grupa)|Lagranžova teorema]] glasi da za konačnu grupu ''G'' i njenu podgrupu ''H'',
:<math> [ G : H ] = { o(G) \over o(H) } </math>
gde red(''G'') i red(''H'') označavaju [[red (teorija grupa)|redove]] od ''G'' i ''H''. Red svake podgrupe od ''G'' (i red svakog elementa ''G'') obavezno deli red(''G'').

'''Desni koseti''' su definisani analogno: ''Ha'' = {''ha'' : ''h'' u ''H''}. Oni su takođe klase ekvivalencije za odgovarajuću relaciju ekvivalencije, i njihov red je jednak [''G'' : ''H''].

Ako je ''aH'' = ''Ha'' za svako ''a'' iz ''G'', tada se kaže da je ''H'' [[normalna podgrupa]]. Svaka podgrupa indeksa 2 je normalna: levi i desni koseti su jednostavno podgrupa i njen komplement.

[[Kategorija:Teorija grupa]]