Izvorni kod stranice Valna jednačina

[[Datoteka:Wave equation 1D fixed endpoints.gif|okvir|Implus koji se prostire kroz žicu sa fiksiranim krajevima modelovan preko talasne jednačine]]
'''Talasna jednačina''' je važna parcijalna [[diferencijalna jednačina]] kojom se opisuje prostiranje [[talas]]a. Talasi mogu biti zvučni, eletromagnetni, vodeni itd., ali se svi prostiru na istom principu sažetom u talasnu jednačinu. Talasna jednačina se javlja i koristi u akustici, [[elektromagnetizam|elektromagnetizmu]], [[optika|optici]], dinamici fluida. Najznačajniji doprinos rešenju problema opisivanja oscilacija i prostiranja talasa dali su [[Žan le Ron D'Alamber|Žan dAlamber]], [[Leonard Ojler]], [[Danijel Bernuli]] i [[Žoze-Luj Lagranž]].

== Uvod ==
Talasna jednačina je tipični primer hiperbolične parcijalne diferencijalne jednačine. U najjednostavnijem obliku, talasna jednačina se odnosi na skalarnu veličinu ''u'' koja zadovoljava:

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u, </math>

gde je '''c''' (konstantna) brzina talasa a <math>\Delta = \nabla^2</math> je [[Laplasijan]]. Za zvučne talase u vazduhu na 20&nbsp;°C iznosi oko 343&nbsp;m/s (videti [[brzina zvuka]]). Za oscilujuću žicu brzina može da se menja u velikom opsegu jer zavisi od linearne gustine žice i njene zategnutosti. Mnogo realističniji model jednačine talasa uzima u obzir [[disperzija|disperziju]], tj, zavisnost brzine talasa od njegove frekvencije. Tada se ''c'' zamenjuje [[fazna brzina|faznom brzinom]]:
:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.</math>

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u </math>
:<math>\rho{ \ddot{\mathbf{u}}} = \mathbf{f} + (\lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})</math>

== Skalarna talasna jednačina u jednoj prostornoj dimenziji ==
=== Izvođenje talasne jednačine ===
Talasna jednačina u jednodimenzionalnom slučaju možemo da izvedemo na sledeći način: Zamislimo niz malih tegova, svaki mase ''m'', povezanih oprugama od kojih svaka ima dužinu ''h'' i koeficijent elastičnosti ''k'':
:[[Datoteka:Array of masses.svg]]

Ovde ''u(x)'' predstavlja otklon od ravnotežnog položaja male mase na koordinati ''x''. Sile koje deluju na masu <math>m</math> na položaju <math>x+h</math> su:
:<math>F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}</math>

:<math>F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]</math>

Jednačina kretanja materijalne tačke na lokaciji ''x+h'' je:

:<math>m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]</math>

gde je vremenska zavisnost ''u''(''x'') data eksplicitno.

Ako se niz tegova sastoji od ''N'' tegova ravnomerno raspoređenih na dužini ''L'' = ''N'' ''h'' tada je ukupna masa ''M'' = ''N'' ''m'', i ukupni koeficijent elastičnosti niza ''K'' = ''k''/''N'' pa gornju jednačinu možemo da napišemo kao:

:<math>{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}</math>

Izračunavanjem limesa <math>N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0</math> (podrazumevanjem uniformnosti) nalazimo:

:<math> {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }  </math>

gde je (''KL<sup>2</sup>)''/''M'' kvadrat brzine kojom se deformacija prostire duž niza.

=== Rešenje problema početnih vrednosti ===

Opšte rešenje jednodimenzionalne skalarne talasne jednačine je

:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math>

izveo je [[Žan Dalamber|Dalamber]]. U faktorskom obliku talasna jednačin amože da se napiše kao

:<math> \left[ \frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right] \left[ \frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right] u = 0.\,</math>

Ako su ''F'' i ''G'' proizvoljne funkcije sledi da svaki zbir oblika

:<math>u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,</math>

zadovoljava talasnu jednačinu. Dva člana predstavljaju dva talasa u pokretu: deformacija data argumentom ''F'' ili ''G'' kreće se brzinom ''c'' u smeru napred (za ''F'') i nazad (za ''G''). Ove funkcije mogu bliže da se odrede na osnovu proizvoljnih početnih uslova:

:<math>u(x,0)=f(x) \,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x) \,</math>

Rezultat je [[Dalamberova formula]]:

:<math>u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds</math>

== Skalarna talasna jednačina u tri prostorne dimenzije ==
Rešenje trodimenzionalnog problema početnih vrednosti može da se dobije iz rešenja jednačine za sferne talase. Taj rezultat onda može da se svede na dvodimenzionalni slučaj.

=== Sferni talasi ===
Skalarna talasna jednačina ostaje neizmenjena pri rotaciji prostornih koordinata i stoga može da se očekuje da postoji rešenje koje zavisi samo od radijalnog rastojanja od odabrane tačke. Takvo rešenje mora da zadovolji

:<math> u_{tt} - c^2 \left(u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,</math>

Ova jednačina može da se napiše i kao

:<math> (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,</math>

veličina ''ru'' zadovoljava jednodimenzionalnu talasnu jednačinu Stoga, postoje rešenja u obliku

:<math> u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,</math>

gde su ''F'' i ''G'' proizvoljne funkcije. Svaki član može da se tumači kao sferni talas koji se širi ili skuplja (kontrahuje) brzinom ''c''. Takve talase stvara tačkasti izvor.

=== Rešenje opšteg problema početnih vrednosti ===
Talasna jednačina je linearna po ''u'' i ostaje neizmenjena pri translaciji u prostoru i vremenu. Stoga, možemo da generišemo veliki broj rešenja tranlacijom i sumiranjem sferičnih talasa. Neka je φ(ξ,η,ζ) proizvoljna funkcija tri nezavisne promenljive, i neka je sferični talas ''F'' delta funkcija: tojest, neka je ''F'' slaba granica kontinualne funkcije čiji je integral jednak jedinici, a čiji opseg gde je funkcija veća od nule skupljen u koordinatni početak. Neka familija sfernih talasa sgernih talasa ima centar u tački (ξ,η,ζ) i neka je ''r'' radijalno rastojanje od te tačke. Tada je

:<math> r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,</math>

Ako je ''u'' superpozicija takvih talasa sa težinskom funkcijom φ, dobijamo

:<math> u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,</math>

gde je imenilac 4πc uveden zbog pogodnosti.

Koristeći definiciju delta funkcije, ''u'' može isto da se predstavi kao

:<math> u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,</math>

gde su α, β, i γ koordinate na jediničnoj sferi ''S'', a ω element površine na sferi ''S''. Ovaj rezultat može da se tumači kao da je ''u''(''t'',''x'') srednja vrednost funkcije φ pomožena sa ''t'' na sferi radijusa ''ct'' centriranoj na ''x'':

:<math> u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,</math>

Sledi da je

:<math> u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,</math>

Srednja vrednost je parna funkcija od ''t'', i stoga ako je

:<math> v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left(t M_{ct}[\psi] \right), \,</math>

tada je

:<math> v(0,x,y,z) =  \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,</math>

Ove formule daju rešenje za problem početnih vrednosti talasne jednačine. One pokazuju da rešenje u datoj tački ''R'', za dato (''t'',''x'',''y'',''z'') zavisi samo od podataka na sferi radijusa ''ct'' presečenoj '''svetlosnim konusom''' nacrtanim unazad iz tačke ''R''. Rešenje ne zavisi od podataka unutar te sfere.

== Skalarna talasna jednačina u dve prostorne dimenzije ==
U dve prostorne dimenzije, talasna jednačina je oblika

:<math> u_{tt} = c^2 \left(u_{xx} + u_{yy} \right). \,</math>

Ovaj problem možemo da rešimo na osnovu trodimenzionalnog rešenja ako smatramo da je ''u'' rešenje u tri dimenzije koje je nezavisno od treće dimenzije. Ako je

:<math> u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,</math>

tada formula za trodimenzionalno rešenje postaje

:<math> u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,</math>

gde su α i β prve dve koordinate jedinične sfere, a dω element površine sfere. Ovaj integral može da se napiše kao integral po disku ''D'' sa centrom u (''x'',''y'') i radijusom ''ct'':

:<math> u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,</math>

Očigledno je da rešenje na (''t'',''x'',''y'') zavisi ne samo od podataka na svetlosnom konusu gde je

:<math> (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,</math>

nego isto i od podataka unutar tog konusa.

== Problem s granicama ==
=== Jedna prostorna dimenzija ===
:<math> -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,</math>

:<math> u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,</math>

:<math> u(t,x) = T(t) v(x).\,</math>

:<math> \frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,</math>

:<math> v'' + \lambda v=0, \,</math>

:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math>

=== Nekoliko prostornih dimenzija ===
:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math> 
:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,</math> 
:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math>

u ''D'', i

:<math>  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math>

na ''B''.

== Nehomogena talasna jednačina u jednoj dimenziji ==
:<math>u(x,0)=f(x)\,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x).\,</math>
:<math>\int \int_{R_C} \left (c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right) dx dt = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

:<math>\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.</math>

:<math>\int_{L_1} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) \,</math>
:: <math>= \int_{L_1} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\, </math>
::<math>= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,</math>

:<math>\int_{L_2} \left (- c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right) </math>
::<math>= - \int_{L_2} \left (c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right) </math>
:: <math>= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left (c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right) </math>
:: <math>= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,</math>

:<math>- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \int \int_{R_C} s(x,t) dx dt </math>
:<math>u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left (t_i - t \right )}_{x_i - c \left (t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,</math>

== Drugi koordinatni sistemi ==

== Povezano ==
* [[Helmholcova jednačina]]
* [[Jednačina zvučnih talasa]]
* [[Jednačina elektromagnetnih talasa]]
* [[Nehomogena jednačina elektromagnetnih talasa]]
* [[Doplerov efekat]]
* [[Šredingerova jednačina]]
* Matematički aspekt talasne jednačine je diskutovan na [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Disperzivne parcijalne diferencijalne jednačine Wiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070425131659/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page |date=2007-04-25 }}.

== Literatura ==
{{refbegin}}
* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", ''Acta Math.'', '''124''' (1970), 109–189. 
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", ''Acta Math.'', '''131''' (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, ''Methods of Mathematical Physics, vol II''. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/wave-toc.pdf Linear Wave Equations]", ''EqWorld: The World of Mathematical Equations.''
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf Nonlinear Wave Equations]", ''EqWorld: The World of Mathematical Equations.''
* William C. Lane, "[https://web.archive.org/web/20060221232740/http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m201.pdf <small>MISN-0-201</small> The Wave Equation and Its Solutions]", ''[http://www.physnet.org Project PHYSNET]''.
{{refend}}

[[Kategorija:Jednačine]]
[[Kategorija:Valovi]]
[[Kategorija:Fundamentalni koncepti fizike]]
[[Kategorija:Mehanika valova]]