Izvorni kod stranice Vektorska analiza

'''Vektorska analiza''' je grana matematike koja proučava diferencijalni i integralni račun nad vektorskim poljima. 

Najveću primjenu u matematici nalazi u diferencijalnoj geometriji i parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a od ostalih grana znanosti, najviše se koristi u fizici, posebno u elektrodinamici, mehanici fluida, gravitaciji i sl. 

Ponekad se pojam vektorska analiza koristi kao sinonim za funkcije više varijabli, što nije ispravna bijekcija. 

== Vektorski operatori ==

Vektorska analiza koristi nekoliko temeljnih operatora, i proučava djelovanje tih operatora na funkcije, vektorska polja i sl.

Sve se te operacije mogu prikazati preko [[Hamiltonov operator|Hamiltonova operatora]] <math>\nabla </math>, što se izgovara kao [nabla]. U kartezijevu sustavu je definiran kao

:<math>\nabla \equiv \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x}  + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z},</math>

a [[Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama|definicija operatora <math>\nabla </math> u zakrivljenim koordinatama]] malo je složenija.

Najjednostavnije operacije su:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Operacija !! Notacija 
|- 
![[Gradijent]]
| <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> 
|-
! [[Rotacija polja|Rotacija]]
| <math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} </math> 
|-
! [[Divergencija]]
| <math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} </math> 
|-
! [[Laplasijan]]
| <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> 
|}

== Najpoznatiji teoremi ==

U vektorskoj analizi postoje četiri najbitnija teorema:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Naziv !! Izjava
|-
! Poopćena Newton-Leibnizova formula
| <math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. </math> 
|-
! [[Greenov teorem]]
| <math>\int_{C} \left( L\, dx + M\, dy \right) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA</math> 
|-
! [[Stokesov teorem]]
| <math> \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, </math> 
|-
! [[Gaussov teorem]]
| <math>\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},</math> 
|}

== Vezani pojmovi ==
* [[Vektorsko polje]]
* [[Tok polja]]
* [[Divergencija]]
* [[Rotacija]]
* [[Gradijent]]
* [[Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama]]

[[Kategorija:Matematička analiza]]