Descartesov teorem

Descartesov teorem govori o odnosu četiri kružnica koje se međusobno dodiruju, ali se ne sijeku. Teorem se može upotrijebiti za izračun četvrte kružnice od tri zadane.

Izraz teorema

Za četiri kružnice radijusa r_i (i=1,...,4) definirana je zakrivljenost k relacijom k_i=1/r_i. Ako se kružnice dodiruju tada se njihove zakrivljenosti odnose kao:

$(k_1+k_2+k_3+k_4{)}^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).$

Iz toga slijedi da je zakrivljenost četvrtog kruga:

$k_4=k_1+k_2+k_3\pm 2\sqrt{k_1{k}_2+k_2{k}_3+k_3{k}_1}.$

Pojava ± znaka upućuje na činjenicu da postoje dva riješenja: jedno je kružnica koja poisuje sve tri zadane kružnice, a drugo je kružnica koja se nalazi unutar njih.

Povezano

• Apolonijeva mreža