Taylorov red

Kako stepen Tejlorovog polinoma raste, on se sve više približava funkciji koju aproksimira. Slika pokazuje funkciju $\sin x$ i Tejlorove aproksimacije polinomom razvijenog do sledećih redova stepenima 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.

Tejlorov polinom za neku funkciju $f(x)$ i datu tačku $a$ je definisan na sledeći način:

$T_n(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=\sum _{k=0}^n(\frac{f^k(a)}{k!}(x-a{)}^k)$

Tejlorovim ostatkom $R_n^a(x)$ polinoma nazivamo deo za koji se razlikuje funkcija i Tejlorov polinom, tj. grešku koja se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi, i on iznosi:

$R_n^a(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt$

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku $a$ koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$

Povezano

• Tejlorova formula
• Maklorenova formula
• Tejlorov red

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.