Heronov trougao

U uvodu knjige Metrike Heron je zabilježio da se geometrija rodila iz potrebe za mjerenjem i podjelom zemlje (odakle i potiče njen naziv), poslije čega je proširenje na tri dimenzije postalo neophodno da bi se mjerila čvrsta tijela. Trougao kome su stranice i površina cijeli brojevi zove se Heronov trougao. Formula za izračunavanje površine raznostraničnog trougla kojem su poznate dužine sve tri stranice je

$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ za $s=\frac{2a+b+c}{2}$ poluobim trougla

Heronova formula se može zapisati i na jedan od sljedečih načina:

$P=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$

$P=\frac{\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

$P=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}}{4}.$

Historija

Formula se pripisuje Heronu iz Aleksandrije. Dokaz se može naći u njegovoj knjizi Metrika, koja je napisana 60. godine. Postoji mišljenje da je formulu znao i Arhimed. Moguće je da ju je Heron samo zabilježio u knjigu Metrika.

Formula koja je ekvivalentna Heronovoj je

$P=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2}$

Površina raznostraničnog trougla

U Metrici (knjiga I) Heron razmatra problem izračunavanja površine trougla stranica poznatih dužina i nudi dva metoda za rješavanje problema

I metoda

Ova metoda bazirana je na 12. i 13. stavu II knjige Elemenata

stav 12

U svakom tupouglom trouglu kvadrat na strani naspram tupog ugla je veći od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom tupog ugla (onom na čije produženje pada spuštena normala) i rastojanjem te normale od tjemena tupog ugla.

stav 13

U svakom oštrouglom trouglu kvadrat na strani naspram oštrog ugla je manji od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom oštrog ugla (onom na koju je spuštena normala) i rastojanjem te normale od tjemena oštrog ugla.

Neka su a, b i c stranice trougla ABC naspramne tjemenima A, B i C. Za bilo koji ugao (uzmimo onaj kod tjemena C) važi Ugao kod C je ako važi

$c^2<a^2+b^2$ ostar

$c^2=a^2+b^2$ pravi

$c^2>a^2+b^2$ tupi

Metoda se zasniva na određivanju, prvo segmenata na koje je bilo koja stranica podijeljena normalom iz naspramnog tjemena, a zatim dužinom normale. U slučaju trougla sa oštrim uglom kod C (tupim uglom kod C) važi:

$c^2=a^2+b^2+2a*CD$

$c^2=a^2+b^2-2a*CD$

$CD=\frac{(a^2+b^2)-c^2}{2a}$

$CD=-\frac{(a^2+b^2)-c^2}{2a}$

$A{D}^2=b^2-C{D}^2$ koja je potrebna za računamke površine $\frac{a*AD}{2}$

II metoda

Neka je ABC dati trougao i neka je data svaka od stranica AB, BC, CA. U trougao upišimo krug sa centrom O i dodirne tačke sa stranicama AB, BC i CA obilježimo redom sa F, D i E. Konstruišimo duži AO, BO, CO, DO, EO i FO spajanjem odgovarajućih tačaka.

$BC*OD=2P_{△BOC}$

$CA*OE=2P_{△COA}$

$AB*OF=2P_{△AOB}$

Sabiranjem ovih nejednakosti dobijamo

$p*OD=2P$ p je poluobim trougla

$BH=AF$

Kako je

$AE=AF$, $BF=BD$ i $CE=CD$, to je

$CH=p/2=s$.

$CH*OD=P$

$C{H}^2*O{D}^2=P^2$

$BC:BL=AF:FO==BH:OD$

$BC:BH=BL:OD$

Trouglovi ODK i LBK su slični. Tj.

$BL:OD=BK:KD$

tj. $BC:BH=BK:KD$

dobijamo:

$CH:HB=BD:DK$

Slijedi da $C{H}^2:(CH*HB)=(BD*DC):(CD*DK)=(BD*DC):O{D}^2$

Pošto je: $P^2=C{H}^2*O{D}^2$ i $C{H}^2*O{D}^2=CH*HB*BD*DC$ , površina trougla je zadata formulom:

$P^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$

Dokaz Pitagorine teoreme

U pravouglom trouglu sa hipotenuzom c, važi $P=ab/2$ Modifikujmo desnu stranu jednakosti koristeći sljedeće

$p-a=(-a+b+c)*2$

$p-b=(a-b+c)*2$

$p-c=(a+b-c)*2$

$a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2b^2{c}^2-(a^4+b^4+c^4)$

Primjenom elementarne algebre dobija se jednakost

U pravouglom trouglu, ovaj izraz je ekvivalentan sljedećim

$16P^2=4a^2{b}^2$

$2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2b^2{c}^2-(a^4+b^4+c^4)=4a^2{b}^2$

$a^4+2a^2{b}^2+b^4-2a^2{c}^2-2b^2{c}^2+c^4=0$

$(a^2+b^2{)}^2-2c^2(a^2+b^2)+c^4=0$

$((a^2+b^2)-c^2{)}^2=0$

Ovim je dokazana Pitagorina teorema