T-ravnalo (fraktal)

T-ravnalo, 8. iteracija

T-ravnalo je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.

Konstrukcija

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo granicu crne i bijele površine.

Svojstva

T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po $\frac{1}{2}$ te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine $\frac{1}{2}$ i dvije duljine $\frac{1}{4}$, pa je to $2+6=8$. Površina se poveća za $\frac{3}{4}$ (četiri dodatna kvadrata površine $\frac{1}{4}$, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje $\frac{3}{4}$) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest $\frac{3}{4}$), dakle $2+3+9=14$. Površina se povećava za $\frac{9}{16}$ (svaki od 12 kvadrata ima površinu $\frac{3}{64}$). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

$1+\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\cdots =\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4$.

Povezano

• Fraktali
• Beskonačno guste krivulje