Descartesov teorem

Descartesov teorem govori o odnosu četiri kružnica koje se međusobno dodiruju, ali se ne sijeku. Teorem se može upotrijebiti za izračun četvrte kružnice od tri zadane.

Izraz teorema

Za četiri kružnice radijusa r_i (i=1,...,4) definirana je zakrivljenost k relacijom k_i=1/r_i. Ako se kružnice dodiruju tada se njihove zakrivljenosti odnose kao:

(k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4})^{2} = 2 (k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2} + k_{4}^{2}) .

Iz toga slijedi da je zakrivljenost četvrtog kruga:

k_{4} = k_{1} + k_{2} + k_{3} \pm 2 \sqrt{k_{1} k_{2} + k_{2} k_{3} + k_{3} k_{1}} .

Pojava ± znaka upućuje na činjenicu da postoje dva riješenja: jedno je kružnica koja poisuje sve tri zadane kružnice, a drugo je kružnica koja se nalazi unutar njih.

Povezano

Apolonijeva mreža

Descartesov teorem

Izraz teorema

Povezano

Navigacija

Pretraga