Jedinična matrica

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.

$E_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],E_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],E_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,E_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:

$E_n=({\delta }_{ij}{)}_{i,j\in \{1,\dots ,n\}}$,

gdje je:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& ,i=j\\ 0& ,i\ne j\end{array}\text{za }i,j\in \{1,\dots ,n\}$

Alternativni zapisi su:

$E_{ij}={\delta }_{ij}$

$E=({\delta }_{ij})$

Osobine

Množenje

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E_n nekog prostora K^{n × n} jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

$EA=AE=A,A\in K^{n\times n}$

Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom K^{n × n} komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore K^{n × m}, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$

Primjer:

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -2\\ 1& 1& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -2\\ 1& 1& 3\end{array}\right]$

Determinanta i inverz

Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

$|E|=1$

$E=E^{-1}$

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

$E{E}^{-1}=E$, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice

$E^{-1}E{E}^{-1}=E^{-1}E$, množenje slijeva sa E^-1

$\underset{E}{\underbrace{E^{-1}E}}{E}^{-1}=\underset{E}{\underbrace{E^{-1}E}}$, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E

$\underset{E^{-1}}{\underbrace{E{E}^{-1}}}=E$, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe

$E^{-1}=E$, kraj dokaza