Logaritamske jednačine

U matematici postoje nekoliko logaritamskih jednačina.

Algebarske jednačine

Korišćenje jednostavnijih operacija

Ljudi koriste logaritme da bi uprostili račun. Na primer, dva broja mogu biti pomnožena samo koristeći tablicu logaritama i sabiranje.

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	zbog	$b^m\cdot b^n=b^{m+n}$
${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	zbog	$\begin{array}{c}\frac{b^m}{b^n}\end{array}=b^{m-n}$
${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$	zbog	$(b^n{)}^y=b^{ny}$
${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	zbog	$\sqrt[y]{x}=x^{1/y}$

Ukidanje eksponenata

Logaritmi i eksponenti (antilogaritmi) sa istom osnovom se poništavaju.

$b^{{\log }_b(x)}=x$	zbog	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	zbog	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

Promena osnove

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Ova jednačina se koristi za izračunavanje logaritama na elektronskim kalkulatorima. Na primer, većina kalkulatora ima dugmad za ln i za log₁₀, ali ne i za log₂. Da bismo našli log₂(3), treba izračunati log₁₀(3) / log₁₀(2) (ili ln(3)/ln(2), što je zapravo ista stvar).

Iz ove formule proizilazi nekoliko stvari:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

Trivijalne jednačine

${\log }_b(1)=0$	zbog	$b^0=1$
${\log }_b(b)=1$	zbog	$b^1=b$

Jednačine matematičke analize

Limesi

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{if }a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{if }a<1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{if }a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{if }a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^b}{\log }_{a}x=0$

Poslednji limes se često shvata kao "logaritam raste sporije od bilo kog stepena ili korena x".

Izvod logaritamske funkcije

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln e},x>0$

$\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b},b>0,b\ne 1$

Integral logaritamske funkcije

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

što se za a=e svodi na

$\int \ln xdx=x(\ln x-1)+C$