Fermatova teorema (analiza)

Ovaj članak je o Fermaovoj teoremi o stacionarnim tačkama. Za druge Fermaove teoreme, pogledajte Fermaova teorema.

Fermaova teorema je teorema u realnoj analizi, nazvana po francuskom matematičaru po imenu Pjer de Ferma. Ona daje metod za pronalaženje lokalnih ekstremuma (maksimuma i minimuma) diferencijabilnih funkcija, pokazivanjem da je svaki lokalni ekstremum funkcije stacionarna tačka (izvod funkcije u toj tački je jednak nuli). Tako, korišćenjem Fermaove teoreme, problem nalaženje ekstremuma može da se svede na rešavanje jednačine.

Važno je imati u vidu da Fermaova teorema daje samo neophodan ali ne i dovoljan uslov za lokalni ekstremum funkcije. Znači neke stacionarne tačke nisu lokalni ekstremumi, već su prevojne tačke. Da bi se utvrdilo da li je stacionarna tačka lokalni ekstremum funkcije, i ako jeste, da li se radi o lokalnom maksimumu ili minimumu, neophodno je da se analizira drugi izvod funkcije (ako on postoji)

Teorema

Neka je $f:(a,b)\to ℝ$ funkcija, i pretpostavimo da je $x_0\in (a,b)$ lokalni ekstremum od $f$. Ako je $f$ diferencijabilna u $x_0$ onda je $f^{\prime }(x_0)=0$.

Povezano

• Mala Fermaova teorema
• Velika Fermaova teorema