Taylorova formula

Aproksimacija funkcije f(x) = 1/(1 + x²) njenim Tejlorovim polinomom P_k reda k = 1, ..., 16 centrirana u x = 0 (crvena boja) i x = 1 (zelena boja). Aproksimacije nisu zadovoljavajuće van intervala (-1,1) i (1-√2,1+√2), respektivno.

Tejlorova formula, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma.

Tejlorov polinom

Šablon:Glavni članak Tejlorov polinom za neku funkciju $f(x)$ i datu tačku $a$ je definisan na sledeći način:

$T_n(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=\sum _{k=0}^n(\frac{f^k(a)}{k!}(x-a{)}^k)$

Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo ostatkom $R_n^a(x)$ polinoma i on iznosi:

$R_n^a(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt$

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku $a$ koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$

Dokaz

Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti indukcijom.

Baza indukcije:

$n=0$

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}1\cdot f^{\prime }(t)dt.$

Da Tejlorova formula važi za $n=1$ možemo dokazati putem parcijalne integracije:

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^1{f}^{″}(t)dt$

Korak indukcije: Uzmimo onda da za neko $n-1$ važi:

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x-a{)}^{n-1}+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t{)}^{n-1}dt$

Dokaz:

$n-1\to n$

$R_{n-1}^a(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t{)}^{n-1}dt=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}{f}^{(n)}(t)dt$

Koristimo $\frac{d}{dt}\left(\frac{(x-t{)}^n}{n}\right)=-(x-t{)}^{n-1}$:

$R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{d}{dt}(\frac{(x-t{)}^n}{n})\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)=-\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{u^{\prime }}{\underbrace{\frac{d}{dt}(\frac{(x-t{)}^n}{n!})}}\underset{v}{\underbrace{\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)}}dt$

Parcijalnom integracijom:

$R_{n-1}^a(x)=-{\left[\underset{u}{\underbrace{\frac{(x-t{)}^n}{n!}}}\underset{v}{\underbrace{\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)}}\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{u}{\underbrace{\frac{(x-t{)}^n}{n!}}}\underset{v^{\prime }}{\underbrace{\frac{d^{n+1}}{d{t}^{n+1}}f(t)}}dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n\frac{d^{n+1}}{d{t}^{n+1}}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^{n}dt$

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_n(x)+R_n(x)$,

što smo i hteli da dokažemo.

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku se dobija kada se na izraz Tejlorove formule

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_n(x)+R_n(x)$

primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:

$R_n^a(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt=f^{(n+1)}(\xi )\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^n}{n!}dt=f^{(n+1)}(\xi )\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}$, gde je $a<\xi <x$

Primer

Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.

Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.

Za sinus znamo da važi:

$f(x)=\sin (x),f^{\prime }(x)=\cos (x),f^{″}(x)=-\sin (x)$

Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:

$n=1,a=0$

$\sin (x)\approx T_1(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}\cdot (x-a)=\sin (0)+\cos (0)\cdot x=x$

U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:

$R_1(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t)f^{″}(t)dt=\sin (x)-x$ najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi:

$R_1(0.5)=-0.020574$, što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.

Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke $a$.

Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji.

Prikazane su aproksimacije funkcije $\sin (x)$ za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):

Povezano

• Maklorenova formula
• Tejlorov red
• Tejlorov polinom

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.