9-j симбол

Вигнеров 9-j симбол дефинисао је Еуген Вигнер као суму преко 6-j симбола:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = \sum_{x} (- 1)^{2 x} (2 x + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{4} & j_{7} \\ j_{8} & j_{9} & x \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{2} & j_{5} & j_{8} \\ j_{4} & x & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{3} & j_{6} & j_{9} \\ x & j_{1} & j_{2} \end{matrix}}

.

Везање угаоних момената

Везањем четири угаона момента добијају се Клебш-Горданови коефицијенти. Три угаона момента можемо да вежемо на неколико начина. Два угаона момента можемо да вежемо исто тако на више начина. Нпр. $𝐣_{1}$ , $𝐣_{2}$ , $𝐣_{4}$ и $𝐣_{5}$ могу да се вежу тако да најпре вежемо

𝐣_{1} + 𝐣_{2} = 𝐣_{3}

и

𝐣_{4} + 𝐣_{5} = 𝐣_{6}

а онда:

𝐣_{3} + 𝐣_{6} = 𝐣_{9}

Ми то пишемо у скраћеном облику као:

| ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} m_{9} ⟩ .

Други начин да се вежу 3 или 4 угаона момента је:

𝐣_{1} + 𝐣_{4} = 𝐣_{7}

и

𝐣_{2} + 𝐣_{5} = 𝐣_{8}

а онда:

𝐣_{7} + 𝐣_{8} = 𝐣_{9}

односно у скраћеном облику:

| ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} m_{9} ⟩ .

Трансформација између два облика је:

| ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} m_{9} ⟩ =

\sum_{j_{3}} \sum_{j 6} | ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} m_{9} ⟩ ⟨ ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} | ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ .

При томе 9-j симбол симбол може да се дефинише као:

[(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1) (2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1)]^{\frac{1}{2}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} =

⟨ ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} | ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ .

Ортогоналност

9-j симболи задовољавају релацију ортогоналности:

\sum_{j_{7} j_{8}} (2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & {j_{3}}^{'} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{3} {j_{3}}^{'}} δ_{j_{6} {j_{6}}^{'}} Δ (j_{1} j_{2} j_{3}) Δ (j_{4} j_{5} j_{6}) Δ (j_{3} j_{6} j_{9})}{(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1)} .

где је:

Δ (a, b, c) = [(a + b - c)! (a - b + c)! (- a + b + c)! / (a + b + c + 1)!]^{1 / 2}

Симетрије

Вигнеров 9-j симбол је инваријантан на рефлексије око дијагонале:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{4} & j_{7} \\ j_{2} & j_{5} & j_{8} \\ j_{3} & j_{6} & j_{9} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{9} & j_{6} & j_{3} \\ j_{8} & j_{5} & j_{2} \\ j_{7} & j_{4} & j_{1} \end{matrix}} .

Ако се пермутирају било која два реда или две колоне :

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = (- 1)^{S} {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = (- 1)^{S} {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \\ j_{8} & j_{7} & j_{9} \end{matrix}} .

тада се множи фазним фактором $(- 1)^{S}$ , где је $S = \sum_{i = 1}^{9} j_{i} .$

Специјални случај

За $j_{9} = 0$ 9-j симбол пропорционалан је 6-j симболу:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{3}, j_{6}} δ_{j_{7}, j_{8}}}{\sqrt{(2 j_{3} + 1) (2 j_{7} + 1)}} (- 1)^{j_{2} + j_{3} + j_{4} + j_{7}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{7} \end{matrix}} .

Суме

\sum_{j_{13} j_{24}} (- 1)^{2 j_{2} + j_{24} + j_{23} - j_{34}} (2 j_{13} + 1) (2 j_{24} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{12} \\ j_{3} & j_{4} & j_{34} \\ j_{13} & j_{24} & j \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{13} \\ j_{4} & j_{2} & j_{24} \\ j_{14} & j_{23} & j \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{12} \\ j_{4} & j_{3} & j_{34} \\ j_{14} & j_{23} & j \end{matrix}} .

Литература

3ј, 6ј и 9ј симболи
-{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Šablon:ISBN}-
-{Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1957), Šablon:ISBN}-
-{Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.), New York: North Holland Publishing (1981), Šablon:ISBN}-

9-j симбол

Sadržaj

Везање угаоних момената

Ортогоналност

Симетрије

Специјални случај

Суме

Литература

Navigacija

9-j симбол

Везање угаоних момената

Ортогоналност

Симетрије

Специјални случај

Суме

Литература

Navigacija

Pretraga