Položaj (geometrija)

Dvije točke P i Q, te njihovi radijvektori (označeni kao ${\overrightarrow{r}}_P$ i ${\overrightarrow{r}}_Q$).

Položaj (takođe vektor položaja, radijus-vektor, radijvektor ili provodnica) je vektor $\overrightarrow{r}$ kojemu je početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O, obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava, a vrh u promatranoj točki P. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše P(r). Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora neke točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.

Primjena

Trajektorija

Ukoliko se vektor položaja $\overrightarrow{𝒓}$ materijalne tačke menja tokom vremena, to znači da dolazi do promene položaja, a tada vektor položaja svojim vrhom opisuje trajektoriju (putanju) tačke. Matematički izražena, zavisnost vektora položaja od vremena naziva se parametarskom jednačinom trajektorije:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left(t\right),$

gde je $t$ vremenski trenutak za koji se traži vektor položaja. Ova jednačina u stvari predstavlja parametraski zadatu jednačinu krive koju tačka opisuje tokom svog kretanja i opštu jednačinu kretanja.

U Dekartovim koordinatama, vektor položaja se može zapisati preko projekcija po osama -{x}-, -{y}- i -{z}-:

$\overrightarrow{r}=r_x\hat{x}+r_y\hat{y}+r_z\hat{z}$

Brzina i ubrzanje

Brzina se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

Ubrzanje se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}$

Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna (normalna) s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

Na prikazanoj slici $dv$ je priraštaj kuta $v$ koji odgovara kratkom intervalu $dt$. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

$dp=\frac{r^2\pi }{2\pi }dv=\frac{1}{2}{r}^{2}dv$

($v$ u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj $dv$ vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom $r$. Tako proizlazi:

$\frac{dp}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\frac{dv}{dt}$

$\frac{dp}{dt}$ naziva se površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ta je brzina konstantna:

$r^2\frac{dv}{dt}=C$

i to je matematički izraz drugoga Keplerova zakona.