Izvorni kod stranice Hiperbolična trigonometrija

'''Hiperbolična trigonometrija''' ima svoju ulogu u [[Geometrija Lobačevskog|geometriji Lobačevskog]]. Koristi se za proučavanje [[Otpornost materijala|otpornosti materijala]], u [[Elektrotehnika|elektrotehnici]], [[statika|statičkim]] proračunima [[viseći most|visećih mostova]] u [[građevinarstvo|građevinarstvu]] i drugim granama [[Nauka|nauke]]. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje [[integral]]a gde se pojavljuje <math>\surd(1+x^2),</math> za razliku od oblika <math>\surd(1-x^2)</math> gde se koristi obična, tj. [[ravninska trigonometrija]].

== Hiperbolične funkcije ==
[[Hiperbolične funkcije]] je uveo u upotrebu italijanski matematičar [[Vinčenco Rikati]] (''Vincenzo Riccati'', 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio [[Lambert]] (''Johann Heinrich Lambert'', 1728-1777. ''Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin'', tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. [[Lateh]], a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

=== Definicija hiperboličnih funkcija ===
[[Sinus hiperbolični]], [[kosinus hiperbolični]] i [[tangens hiperbolični]] određeni su [[formula]]ma:

: <math>\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},</math>
: <math>\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},</math>
: <math>\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.</math>

<gallery>
Datoteka:Mplwp sinh cosh.svg|Sl.1. Graf sinusa hiperboličnog (plave boje, donji), i kosinus (crven, iznad)
Datoteka:Mplwp tanh.svg|Sl.2. Graf tangensa hiperboličnog (plav)
Datoteka:Hyperbolic Cotangent.svg|Sl.3. Graf kotangensa hiperboličnog (crven)
</gallery>

[[Kotangens hiperbolični]], [[sekans hiperbolični]] i [[kosekans hiperbolični]] su recipročne vrednosti:

: <math>\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},</math>
: <math>\operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}},</math>
: <math>\operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}.</math>

<gallery>
Datoteka:Sech.png|Sl.4. Graf sekansa hiperboličnog (crven)
Datoteka:Mplwp csch.svg|Sl.5. Graf kosekansa hiperboličnog (plav)
</gallery>

Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija [[sinus]], [[kosinus]], [[tangens]] (v. [[ravninska trigonometrija]]).

=== Geometrijsko određivanje ===
U trigonometrijskom [[krug]]u definisane su funkcije <math>\sin x,\; \cos x,\; \tan x</math> kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a [[ugao]] &alpha; je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao [[površina|površinu]] P<sub>k</sub> dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano). 
<gallery>
Datoteka:Trig-kruz.gif|Sl.6. Trigonometrijska kružnica
Datoteka:Trig-hipe.gif|Sl.7. Trigonometrijska hiperbola
</gallery> 
Naime, kada je ugao AOC, tj. &alpha; u [[radijan]]ima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu <math>P_k=\frac{1}{2}r^2\cdot 2\alpha=\alpha.</math> Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za [[kružnica|kružnicu]] <math>x^2+y^2=1,</math> nego za istostranu [[hiperbola|hiperbolu]] <math>x^2-y^2=1,</math> i označavajući sa <math>P_h=x</math> površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h iz[[račun]]amo (v. [[određeni integral]]) dobijamo izraze za BC, OB, AD: 

: <math>x=\ln(BC+\sqrt{BC^2+1})=\ln(OB+\sqrt{OB^2-1})=\frac{1}{2}\ln\frac{1+AD}{1-AD},</math>

[[Datoteka:Hiper-trig.gif|right]]

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

: <math>BC=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,</math>
: <math>OB=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,</math>
: <math>AD=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x.</math>

=== Trigonometrijske veze ===
: <math>\sin z=-i\sinh z, \quad \sinh z=-i\sin iz,</math>
: <math>\cos z=i\cosh z, \quad \cosh z=i\cos iz,</math>
: <math>\tan z=-i\tanh z, \quad \tanh z=-i\tan iz,</math>
: <math>\cot z=i\sinh z, \quad \coth z=i\cot iz.</math>

Svaka [[formula]] koja povezuje hiperbolične funkcije [[Argument (matematika)|argumenta]] h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične [[trigonometrijske funkcije]] ugla z zamenom <math>\sin z\,</math> sa <math>i \sinh x\,</math> i zamenom <math>\cos z\,</math> sa <math>\cosh x.\,</math> Na primer:

: <math>\cos^2z+\sin^2z=1\,</math> prelazi u <math>\cosh^2x-\sinh^2x=1,\,</math>
: <math>\sin 2z=2\sin y\cos z,\,</math> prelazi u <math>\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,</math>

== Osnovne formule ==
Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije [[obična trigonometrija|obične trigonometrije]].

=== Funkcije jednog argumenta ===
: <math>\cosh^2x-\sinh^2x=1, \quad \operatorname{sech}^2x+\tanh^2x=1,</math>
: <math>\coth^2x-\operatorname{csch}^2x=1, \quad \tanh x\cdot\coth x=1,</math>
: <math>\frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x, \quad \frac{\cosh x}{\sinh x}=\coth x.</math>

=== Međusobno izražavanje ===
: <math>\sinh x=\sqrt{\cosh^2x-1}=\frac{\tanh x}{\sqrt{1-\tan^2x}}=\frac{1}{\sqrt{\coth^2x-1}},</math>
: <math>\cosh x=\sqrt{\sinh^2x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2x}}=\frac{\coth x}{\sqrt{\cot^2x-1}},</math>
: <math>\tanh x=\frac{\sinh x}{\sqrt{\sinh^2x+1}}=\frac{\sqrt{\cosh^2x-1}}{\cosh x}=\frac{1}{\coth x},</math>
: <math>\coth x=\frac{\sqrt{\sinh^2x+1}}{\sinh x}=\frac{\cosh x}{\sqrt{\cosh^2x-1}}=\frac{1}{\tanh x}.</math>

=== Zbir i razlika argumenata ===
: <math>\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm\cosh x\sinh y,</math>
: <math>\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y,</math>
: <math>\tanh(x\pm y)=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}, \quad \coth(x\pm y)=\frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm\coth y}.</math>

=== Funkcije dvostrukog argumenta ===
: <math>\sinh 2x=2\sinh x\cosh x, \quad \cosh 2x=\sinh^2x+\cosh^2x,</math>
: <math>\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}, \quad \coth 2x=\frac{1+\coth^2x}{2\coth x}.</math>

=== Moavrova hiperbolična formula ===
: <math>(\cosh x\pm\sinh x)^n=\cosh nx\pm\sinh nx</math>

=== Funkcije polovine argumenta ===
: <math>\sinh\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}},</math> + za x>0, - za x<0,
: <math>\cosh\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}},</math>
: <math>\tanh\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1}, \quad \coth\frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x}.</math>

=== Zbir i razlika funkcija ===
: <math>\sinh x\pm\sinh y=2\sinh\frac{x\pm y}{2}\cosh\frac{x\mp y}{2},</math>
: <math>\cosh x+\cosh y=2\cosh\frac{x+y}{2}\cosh\frac{x-y}{2},</math>
: <math>\cosh x-\cosh y=2\sinh\frac{x+y}{2}\sinh\frac{x-y}{2},</math>
: <math>\tanh x\pm\tanh y=\frac{\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}.</math>

== Inverzne (Area) funkcije ==
Nazivi '''area-sinus''', '''area-kosinus''', '''area-tangens''' i '''area-kotangens''' potiču od reči ''area'' ([[površina]]) jer [[area-funkcija|area-funkcije]] možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama [[sinus hiperbolni]], [[kosinus hiperbolni]], [[tangens hiperbolni]] i [[kotangens hiperbolni]], tj. ako je <math>y=\sinh x\,</math> tada je <math>x=Ar\sinh y,\,</math> itd:

: <math>y=Ar\sinh x\,</math> [[area-sinus]], ako je <math>x=\sinh y,\,</math>
: <math>y=Ar\cosh x\,</math> [[area-kosinus]], ako je <math>x=\cosh y,\,</math>
: <math>y=Ar\tanh x\,</math> [[area-tangens]], ako je <math>x=\tanh y,\,</math>
: <math>y=Ar\coth x\,</math> [[area-kotangens]], ako je <math>x=\coth y.\,</math>

=== Izražavanje logaritmima ===
: <math>Ar\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),</math>
: <math>Ar\cosh x=\pm\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\; x\ge 1,</math>
: <math>Ar\tanh x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\; |x|<1,</math>
: <math>Ar\coth x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}, \; |x|>1.</math>

=== Međusobno izražavanje inverznih ===
: <math>Ar\sinh x=\pm^*Ar\cosh\sqrt{x^2+1}=Ar\tanh\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=Ar\coth\frac{\sqrt{x^2+1}}{x},</math>
: <math>Ar\cosh x=\pm Ar\sinh\sqrt{x^2-1}=\pm Ar\tanh\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\pm Ar\cosh\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},</math>
: <math>Ar\tanh x=Ar\sinh\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\pm^*Ar\cosh\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=Ar\coth\frac{1}{x},</math>
: <math>Ar\coth x=Ar\sinh\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\pm^*Ar\cosh\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=Ar\tanh\frac{1}{x}.</math>

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

=== Odnosi među inverznim ===
: <math>Ar\sinh x \pm Ar\sinh y=Ar\sinh(x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}),</math>
: <math>Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh(xy\pm\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}),</math>
: <math>Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh\frac{x\pm y}{1\pm xy}.</math>

== Povezano ==
* [[Geometrija]]
* [[Trigonometrija]]
* [[Hiperbolične funkcije]]
* [[Inverzne hiperbolične funkcije]]

[[Kategorija:Hiperbolična geometrija|Trigonometrija]]
[[Kategorija:Trigonometrija]]
[[Kategorija:Kompleksni brojevi]]