Hiperbolična trigonometrija

Hiperbolična trigonometrija ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje $\surd (1+x^2),$ za razliku od oblika $\surd (1-x^2)$ gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.

Hiperbolične funkcije

Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (Vincenzo Riccati, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

Definicija hiperboličnih funkcija

Sinus hiperbolični, kosinus hiperbolični i tangens hiperbolični određeni su formulama:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},$

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},$

$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$

• 
  Sl.1. Graf sinusa hiperboličnog (plave boje, donji), i kosinus (crven, iznad)
• 
  Sl.2. Graf tangensa hiperboličnog (plav)
• 
  Sl.3. Graf kotangensa hiperboličnog (crven)

Kotangens hiperbolični, sekans hiperbolični i kosekans hiperbolični su recipročne vrednosti:

$\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},$

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}},$

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}.$

• 
  Sl.4. Graf sekansa hiperboličnog (crven)
• 
  Sl.5. Graf kosekansa hiperboličnog (plav)

Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).

Geometrijsko određivanje

U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije $\sin x,\cos x,\tan x$ kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao α je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu P_k dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano).

• Sl.6. Trigonometrijska kružnica
  Sl.6. Trigonometrijska kružnica
• Sl.7. Trigonometrijska hiperbola
  Sl.7. Trigonometrijska hiperbola

Naime, kada je ugao AOC, tj. α u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu $P_k=\frac{1}{2}{r}^2\cdot 2\alpha =\alpha .$ Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu $x^2+y^2=1,$ nego za istostranu hiperbolu $x^2-y^2=1,$ i označavajući sa $P_h=x$ površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD:

$x=\ln (BC+\sqrt{B{C}^2+1})=\ln (OB+\sqrt{O{B}^2-1})=\frac{1}{2}\ln \frac{1+AD}{1-AD},$

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

$BC=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,$

$OB=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,$

$AD=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x.$

Trigonometrijske veze

$\sin z=-i\sinh z,\sinh z=-i\sin iz,$

$\cos z=i\cosh z,\cosh z=i\cos iz,$

$\tan z=-i\tanh z,\tanh z=-i\tan iz,$

$\cot z=i\sinh z,\coth z=i\cot iz.$

Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom $\sin z$ sa $i\sinh x$ i zamenom $\cos z$ sa $\cosh x.$ Na primer:

${\cos }^{2}z+{\sin }^{2}z=1$ prelazi u ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1,$

$\sin 2z=2\sin y\cos z,$ prelazi u $\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.$

Osnovne formule

Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.

Funkcije jednog argumenta

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1,{\mathrm{sech}}^{2}x+{\tanh }^{2}x=1,$

${\coth }^{2}x-{\mathrm{csch}}^{2}x=1,\tanh x\cdot \coth x=1,$

$\frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x,\frac{\cosh x}{\sinh x}=\coth x.$

Međusobno izražavanje

$\sinh x=\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}=\frac{\tanh x}{\sqrt{1-{\tan }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{{\coth }^{2}x-1}},$

$\cosh x=\sqrt{{\sinh }^{2}x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-{\tanh }^{2}x}}=\frac{\coth x}{\sqrt{{\cot }^{2}x-1}},$

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\sqrt{{\sinh }^{2}x+1}}=\frac{\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}}{\cosh x}=\frac{1}{\coth x},$

$\coth x=\frac{\sqrt{{\sinh }^{2}x+1}}{\sinh x}=\frac{\cosh x}{\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}}=\frac{1}{\tanh x}.$

Zbir i razlika argumenata

$\sinh (x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y,$

$\cosh (x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y,$

$\tanh (x\pm y)=\frac{\tanh x\pm \tanh y}{1\pm \tanh x\tanh y},\coth (x\pm y)=\frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm \coth y}.$

Funkcije dvostrukog argumenta

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\cosh 2x={\sinh }^{2}x+{\cosh }^{2}x,$

$\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x},\coth 2x=\frac{1+{\coth }^{2}x}{2\coth x}.$

Moavrova hiperbolična formula

$(\cosh x\pm \sinh x{)}^n=\cosh nx\pm \sinh nx$

Funkcije polovine argumenta

$\sinh \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}},$ + za x>0, - za x<0,

$\cosh \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}},$

$\tanh \frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1},\coth \frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x}.$

Zbir i razlika funkcija

$\sinh x\pm \sinh y=2\sinh \frac{x\pm y}{2}\cosh \frac{x\mp y}{2},$

$\cosh x+\cosh y=2\cosh \frac{x+y}{2}\cosh \frac{x-y}{2},$

$\cosh x-\cosh y=2\sinh \frac{x+y}{2}\sinh \frac{x-y}{2},$

$\tanh x\pm \tanh y=\frac{\sinh (x\pm y)}{\cosh x\cosh y}.$

Inverzne (Area) funkcije

Nazivi area-sinus, area-kosinus, area-tangens i area-kotangens potiču od reči area (površina) jer area-funkcije možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni, tj. ako je $y=\sinh x$ tada je $x=Ar\sinh y,$ itd:

$y=Ar\sinh x$ area-sinus, ako je $x=\sinh y,$

$y=Ar\cosh x$ area-kosinus, ako je $x=\cosh y,$

$y=Ar\tanh x$ area-tangens, ako je $x=\tanh y,$

$y=Ar\coth x$ area-kotangens, ako je $x=\coth y.$

Izražavanje logaritmima

$Ar\sinh x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),$

$Ar\cosh x=\pm \ln (x+\sqrt{x^2-1}),x\ge 1,$

$Ar\tanh x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},|x|<1,$

$Ar\coth x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1},|x|>1.$

Međusobno izražavanje inverznih

$Ar\sinh x={\pm }^{*}Ar\cosh \sqrt{x^2+1}=Ar\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=Ar\coth \frac{\sqrt{x^2+1}}{x},$

$Ar\cosh x=\pm Ar\sinh \sqrt{x^2-1}=\pm Ar\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\pm Ar\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}},$

$Ar\tanh x=Ar\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}={\pm }^{*}Ar\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=Ar\coth \frac{1}{x},$

$Ar\coth x=Ar\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}={\pm }^{*}Ar\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=Ar\tanh \frac{1}{x}.$

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

Odnosi među inverznim

$Ar\sinh x\pm Ar\sinh y=Ar\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}),$

$Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh (xy\pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}),$

$Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}.$

Povezano

• Geometrija
• Trigonometrija
• Hiperbolične funkcije
• Inverzne hiperbolične funkcije