Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla. Dobile su ime po grani matematike koja ih koristi za rešavanje trouglova, a koja se naziva trigonometrija.

Kada je ugao, dakle argument ovih funkcija realan broj, tada su to funkcije ravninske trigonometrije: sinus i kosinus, od kojih se izvode sve ostale. Od ostalih osnovnih funkcija ugla često su u upotrebi tangens, pa i kotangens, zatim, malo ređe se sreću kosekans i sekans, i konačno najređe sinus versus i kosinus versus. Kada je ugao kompleksan broj tada funkcije ugla mogu preći u hiperboličke funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije zovu se ciklometrijske funkcije i arkus-funkcije.

Definicije

Osnovne trigonometrijske funkcije sinus, kosinus i tangens se obično definšu pomoću pravouglog trougla, slika desno.

$x=r\cdot \cos \varphi ,y=r\cdot \sin \varphi ,\frac{y}{x}=\mathrm{tg}\varphi .$

Pozitivan matematički ugao ima suprotan smer od kazaljke na satu, slično kao i kretanje Sunca u odnosu na sunčevu senku na slici 2.

Trigonometrijska kružnica

Na slici (3) dole je kružnica poluprečnika jedan sa centrom u ishodištu, tj. $x^2+y^2=1,$ koja se zove trigonometrijska kružnica. U sledećoj definiciji i teoremi (1), tangens i kotangens (b) se u anglosaksonskim zemljama označavaju tan i cot, kosekans (v) se i kod nas i vani ponekad označava cosec.

Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla φ definišu se jednakostima

(a) ${\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi =1,$ sinus i kosinus su realni brojevi;

(b) $\mathrm{tg}\varphi =\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi },\mathrm{ctg}\varphi =\frac{\cos \varphi }{\sin \varphi },$ tangens i kotangens;

(v) $\sec \varphi =\frac{1}{\cos \varphi },\csc \varphi =\frac{1}{\sin \varphi },$ sekans i kosekans.

(g) $\mathrm{vercos}\varphi =1-\sin \varphi ,\mathrm{versin}=1-\cos \varphi ,$ kosinus versus i sinus versus.

Funkcije (v), a naročito (g) retko srećemo.

Teorema 1

(a) $\overline{OA}=\cos \varphi ,\overline{OC}=\sin \varphi ,$ kosinus i sinus;

(b) $\overline{BE}=\mathrm{tg}\varphi ,\overline{FG}=\mathrm{ctg}\varphi ,$ tangens i kotangens;

(v) $\overline{OE}=\sec \varphi ,\overline{OG}=\csc \varphi ,$ sekans i kosekans.

Dokaz

Tačka T sa slike 1. ovde (sl.2.) je tačka D.

(a) Sledi neposredno zbog poluprečnika r = 1.

(b) Uočimo slične trouglove $\mathrm{\Delta }EBO\sim \mathrm{\Delta }DAO,$ odakle $\overline{BE}:\overline{OB}=\overline{AD}:\overline{OA},$ tj. $\overline{BE}:1=\sin \varphi :\cos \varphi ;$ uočimo slične trouglove $\mathrm{\Delta }GFO\sim \mathrm{\Delta }OAD,$ odatle $\overline{FG}:\overline{FO}=\overline{OA}:\overline{AD},$ tj. $\overline{FG}:1=\cos \varphi :\sin \varphi .$

(v) Iz istih sličnih trouglova (b) dobijamo $\overline{OE}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{OA},$ tj. $\overline{OE}:1=1:\cos \varphi ;$ zatim $\overline{OG}:\overline{OF}=\overline{OD}:\overline{AD},$ tj. $\overline{OG}:1=1:\sin \varphi .$ Kraj dokaza.

Posebni uglovi

Na prethodnoj slici (3) predstavljen je Dekartov pravougli sistem koordinata i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Ugao BOD = φ može neograničeno rasti dok pokretni krak ugla (OD) prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ može rasti do 360° i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvek računaju kao kosinus i sinus ugla φ. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka -{D}- u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka -{D}- u prvom i drugom kvadrantu. Detaljno to vidimo u sledećoj tabeli:

Trigonometrijske funkcije po kvadrantima

Kvadrant	1. (0°-90°)	2. (90°-180°)	3. (180°-270°)	4. (270°-360°)
sinus	+	+	-	-
kosinus	+	-	-	+
tangens	+	-	+	-

Takođe je lako proveriti tačnost formula za svođenje vrednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

$\cos (180^o-\varphi )=-\cos \varphi ,\sin (180^o-\varphi )=\sin \varphi ,$

$\cos (180^o+\varphi )=-\cos \varphi ,\sin (180^o+\varphi )=-\sin \varphi ,$

$\cos (-\varphi )=\cos \varphi ,\sin (-\varphi )=-\sin \varphi .$

Funkcije kosinus i sinus su periodične sa osnovnim periodom 360°, a funkcija tangens je periodična sa periodom 180°:

$\cos (360^o+\varphi )=\cos \varphi ,\sin (360^o+\varphi )=\sin \varphi ,\mathrm{tg}(180^o+\varphi )=\mathrm{tg}\varphi .$

Funkcije uglove većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant. Zato su veoma važne trigonometrijske tablice uglova iz prvog kvadranta. Za neke od tih uglova se funkcije lakše izračunavaju:

Najčešće vrednosti trigonometrijskih funkcija

$\varphi$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin \varphi$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos \varphi$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$\mathrm{tg}\varphi$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\pm \mathrm{\infty }$

Jedan od načina izračunavanja ovih vrednosti je prikazan u pregledu osnovnih uglova. Iz tabele se vidi da su već kod "osnovnih" uglova trigonometrijske funkcije iracionalni brojevi i da bi slični izrazi za druge uglove mogli biti još složeniji. Jednostavniji od tih složenijih izraza bio bi, na primer $\sin 15^o=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},$ i to je najmanji ugao čiji se sinus može predstaviti pisanjem proste algebarske kombinacije racionalnih brojeva i korenova. Vekovima su trigonometrijske vrednosti zapisivane u trigonometrijske tablice, na 5 do 10 decimala, a u poslednje vreme koristi se skoro isključivo računar ili kalkulator.

Kada tačka -{D}- jednom obiđe kružnicu pređe put 2π odnosno napravi 360°. Luk dužine π odgovara uglu 180° - ispruženi ugao, π/2 je 90° - pravi ugao, π/3 je 60°, π/4 je 45°, π/6 je 30°, i uopšte luk dužine x radijana odgovara uglu 360x/2π stepeni. Za jedan radijan, h = 1, dobija se ugao 57,2957795... stepeni, tj. u stepenima, minutama i sekundama 57°17'44,8". Jedan stepen ima 60 minuta, a jedna minuta ima 60 sekundi. Izrazi minute i sekunde potiču od latinskih reči: -{partes minutae primae}- i -{partes minutae secundae}-, tj. prvi mali delovi i drugi mali delovi. Matematički tekstovi za jedinicu ugla podrazumevaju radijan.

Redovi

Trigonometrijske funkcije se, takođe, mogu predstavljati (beskonačnim) redovima:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.

Osobine

Pregled skoro svih osobina trigonometrijskih funkcija koje se tiču rešavanja trouglova dat je u prilogu: ravninska trigonometrija. U posebnom prilogu mogu se pronaći dokazi za adicione formule, gde spadaju i formule za dvostruke uglove, zatim polovine uglova, te predstavljanje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija pomoću proizvoda i obratno, i izražavanje ostalih trigonometrijskih funkcija pomoću tangensa polovine ugla. Inače je

$\sin x=\frac{\mathrm{tg}x}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}}.$

Takođe, u posebnom prilogu se nalaze trigonometrijske jednačine. Ono što sledi jesu dodatne, analitičke osobine funkcija, i neki dokazi.

Granična vrednost

Na slici (4) levo vidimo tetivu $\overline{DAH}$ koja je sigurno kraća od luka $\widehat{DBH}.$ Tetiva je najkraće rastojanje između dve tačke na kružnici. Zato je polutetiva $\overline{DA}$ kraća od poluluka $\widehat{DB}.$ Trougao OAD, sa oštrim uglom φ je pravougli. Pravi ugao je u temenu A, kateta OA iznosi $\cos \varphi$, kateta DA iznosi $\sin \varphi$, hipotenuza je dužine jedan. Kada je ugao u radijanima i $0<\varphi <\frac{\pi }{2},$ tada je

Teorema 1

$\underset{\varphi \to 0}{\lim }\sin \varphi =0,\underset{\varphi \to 0}{\lim }\cos \varphi =1.$

Dokaz: Sledi iz $0<\sin \varphi <\widehat{DB}=\varphi$ i $0<1-\cos \varphi <\overline{AB}<\overline{DB}<\widehat{DB}=\varphi .$ Kraj.

Kada ugao teži nuli preko pozitivnih vrednosti, sinus je tada pozitivan, a negativan je kada ugao teži nuli preko negativnih vrednosti. Naprotiv, kosinus je u oba slučaja pozitivan. Iz toga proizilaze limesi za kotangens: $\underset{x\to +0}{\lim }\mathrm{ctg}x=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -0}{\lim }\mathrm{ctg}x=-\mathrm{\infty }.$ Zamenom h sa komplementnim uglom dobićete odgovarajuće limese za tangens.

Teorema 2

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$

Dokaz

Na slici (5) desno, površina pravouglog trougla OAD manja je od površine kružnog isečka OBD, a ova opet manja od površine pravouglog trougla OBE. Nazovimo sa h ugao BOE. Otuda $\frac{\sin x\cos x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathrm{tg}x}{2}.$ Podelimo li ove nejednakosti sa (pozitivnim) $\frac{\sin x}{2},$ dobićemo $\cos x<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x},$ a otuda $\frac{1}{\cos x}>\frac{\sin x}{x}>\cos x.$ Sa $x\to 0$ vredi $\cos x\to 1,\frac{1}{\cos x}\to 1,$ pa je $\frac{\sin x}{x}\to 1.$ Sinus je parna funkcija pa je dokaz za negativne uglove isti. Kraj dokaza.

Izvod

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrednost: $f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Teorema 3

(a) $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,$

(b) $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,$

(v) $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x.$

Dokaz

(a) $\mathrm{\Delta }\sin x=\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin x=2\cos (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2},$ pa je

$\frac{\mathrm{\Delta }\sin x}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\cos (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}\to \cos x,$ kada $\mathrm{\Delta }x\to 0$ (teorema 2).

(b) Zbog $\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x),$ biće $(\cos x{)}^{\prime }=\cos (\frac{\pi }{2}-x)\cdot (\frac{\pi }{2}-x{)}^{\prime }=-\cos (\frac{\pi }{2}-x)=-\sin x.$

(v) Izvod količnika $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=$

$=\frac{{\sin }^{\prime }x\cos x-{\cos }^{\prime }x\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.$ Kraj dokaza 3.

Povezano

• Trigonometrijske jednačine