Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika $a+bi$, gde su a i $b$ realni brojevi, $i$ jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

malo

$(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i$, $(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i$, $\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{bx-ay}{x^2+y^2}\cdot i$

U kompleksnom broju $z=a+bi$ broj $a$ se naziva realni deo, piše se $a=Re(z)$, a broj $b$ je imaginarni deo, piše se $b=Im(z)$.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz $i$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva $(a,b)$. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)$, $(a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$, $\frac{(a,b)}{(x,y)}=(\frac{ax+by}{x^2+y^2},\frac{bx-ay}{x^2+y^2})$.

Par $(0;1)$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom $i$. Iz poslednjih formula proizilazi da je $i^2=-1$. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

$-1=i^2=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=1$.

Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja $\sqrt{-1}$ .

S druge strane, zapis oblika $z=x+yi$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

$z=x+yi$ i

$z=(x,y)$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $ℂ$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$, gdje su $x,y\in ℝ$.

Posebno je $0=0+i0$.

$x=\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$ je realni dio kompleksnog broja $z$,

$y=\mathrm{I}\mathrm{m}z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$z=x+iy$ za $x,y\in ℝ$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$z=r(cos\theta +isin\theta ),r\ge 0,\theta \in ℝ$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =ARgz$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$z=r*e^{i\theta }$ za $r\ge 0,\theta \in ℝ$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =ARgz$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

$z_1=z_2\leftrightarrow (\mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2)\wedge \mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2)).$

Konjugirano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj $\overline{z}=x-iy$.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

$(z_1+z_2=z_2+z_1$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in ℂ$ komutativnost sabiranja

$z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3,$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ$ asocijativnost sabiranja

$\mathrm{\exists }0\in ℂz+0=z$ za $\mathrm{\forall }z\in ℂ$ neutralni element 0 (nula) za sabiranje

Kompleksni broj $0=(0,0)=0+0i$

$(\mathrm{\forall }z\in ℂ)(\mathrm{\exists }(-z)\in ℂz+(-z)=0$ postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj $-z=(-x,-y)=-x-yi$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

$z_1*z_2=z_2*z_1$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in ℂ$ komutativnost množenja

$z_1*(z_2*z_3)=(z_1*z_2)*z_3$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ$ asocijativnost množenja

$\mathrm{\exists }1\in ℂz*1=z$ za $\mathrm{\forall }z\in ℂ$ neutralni element $1$ za množenje

$(\mathrm{\forall }z\in ℂ)(z\ne 0)(\mathrm{\exists }{z}^{\prime }\in ℂz*(-z^{\prime })=1$ postojanje recipročnog elemanta

$z_1*(z_2+z_3)=z_1*z_2+z_1*z_3$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$, u oznaci $a\circ b$,je realan broj određen kao

$a\circ b=\frac{1}{2}(\bar{a}b+a\bar{b})$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\phi +isin\phi )$ i$b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je proveriti da je

$a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\phi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos\widehat{AOB}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

1. $a\circ a=\mid a{\mid }^2$
2. $a\circ b=b\circ a$
3. $\overline{a\circ b}=a\circ b$
4. $(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
5. $(az))bz)=\mid z{\mid }^2(a\circ b)$
6. $a\circ b=0<=>OA\perp OB$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$)

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ jednak je potenciji koordinantnog početka $O$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $AB$, gdje su $A$ i $B$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$.

Tačka $M$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem $\frac{a+b}{2}$, potencija tačke $O$ u odnosu na krug sa središtem u tački $M$ i poluprečnikom

$r=\frac{a-b}{2}=\frac{\mid a-b\mid }{2}$ jednaka je

$O{M}^2-r^2=\mid \frac{a+b}{2}\mid -\mid \frac{a-b}{2}\mid =\frac{(a+b)(\bar{a}+\bar{b}}{4}-\frac{(a-b)(\bar{a}-\bar{b})}{4}=a\circ b$

Neka su tačke $A$,$B$,$C$,$D$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$, $d$. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $AB\perp CD$
2. $(a+b)\circ (c+d)=0$
3. $\frac{b-a}{d-c}\in iℝ\left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\}$
4. $Re(\frac{b-a}{d-c})=0$

Središte kružnice opisane oko trougla $ABC$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena $A$, $B$, $C$ trougla $ABC$ određena kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$ respektivno, tada je ortocentar $H$ tog trougla određen kompleksnim brojem $h=a+b+c$.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$a\times b=\frac{\bar{a}b-a\bar{b}}{2}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $a$ i $b$.

Neka su $A$ i $B$ tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\phi +isin\phi )$ i $a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je provjeriti da je

$\mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\phi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB}$

Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

1. $\overline{a\times b}=-a\times b$
2. $a\times b=0<=>a=0\vee b=0\vee a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in ℝ\left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\}$
3. $a\times b=-b\times a$
4. $\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$ )

Ako su $A(a)$ i $B(b)$ dvije različite tačke različite od $O(0)$, tada je $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$, $A$,$B$ kolinearne tačke.

Neka su $A(a$) i $B(b$) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $a$ i $b$ ima sljedeći geometrijski smisao

$a\times b=\{\begin{array}{c}2i{P}_{AOB}zatrougaoAOBpozitivnoorijentisan\\ -2i{P}_{AOB}zatrougaoAOBnegativnoorijentisan\end{array}$ Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

$P_{ABC}=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}(a\times b+b\times c+c\times a)akojeABCpozitivnoorjentisan\\ \frac{1}{2}(a\times b+b\times c+c\times a)akojeABCnegativnoorjentisan\end{array}$

Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

1. Tačke $A$,$B$,$C$ su kolinearne
2. $(b-a)\times (c-a)=0$
3. $a\times b+b\times c+c\times a=0$

Neka su $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ i $D(d)$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je $AB\parallel CD$ onda i samo onda ako je $(b-a)\times (d-c)=0$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}\cdot \frac{x_2-i{y}_2}{x_2-i{y}_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{y_1{x}_2-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2},\text{za}{z}_2\ne 0$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

$\mathrm{\forall }z\in ℂ)(z\ne 0)\mathrm{\exists }{z}^{\prime }\in ℂ$

Neka je $z=x+yi\ne 0$ bilo koji. Onda je $x^2+y^2\ne 0$ pa je dobro definisan broj

$z^{\prime }=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i$

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$

imamo

$z^{\prime }*z=z*z^{\prime }=1$

$z^{\prime }=z^{-1}=\frac{1}{z}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj $\bar{z}=x-yi=r^{-i\theta }$ nazivamo konjugovanim broju $z=x+yi=r^{i\theta }$.

Brojevi $z$ i $\bar{z}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$Rez=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$

$Imz=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$

Lako se provjerava da vrijedi

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
2. $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
3. $\overline{z_1*z_2}=\overline{z_1}*\overline{z_2}$
4. $\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}$

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=rcis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^2=z*z$

$z^2=rcis\theta *rcis\theta =r^{2}cis(\theta +\theta )=r^{2}cis2\theta$

$z^3=r^{2}cis2\theta *rcis\theta =r^{3}cis(2\theta +\theta )=r^{3}cis3\theta$

$z^4=r^{3}cis3\theta *rcis\theta =r^{4}cis(3\theta +\theta )=r^{4}cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$z^n=r^{n}cisn\theta$ ili

$(cos\theta +isin\theta {)}^n=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)$

Stepenovanje kompleksnog broja

$z^n=r^n(cosn\theta +isinn\theta )=r^n{e}^{in\theta }$ za $n\in N$.

$z^m{z}^n=z^{m+n}$

$z_1^n*z_2^n=(z_1{z}_2{)}^n$

$(z^m{)}^n=z^{mn}$

Korjenovanje kompleksnog broja

$\sqrt[n]{z}=\left\{\begin{array}{c}{u}_0,u_1...u_n\end{array}\right\}$ za $n\in N$

gdje je

$u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+isin\frac{\theta +2k\pi }{n})$ za $k=0,1,...(n-1)$

$u_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1,...(n-1)$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

$\sqrt{i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}+i\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

$i=(a+bi{)}^2$

$i=a^2+2abi-b^2.$

Dobijamo dvije jednačine

$\{\begin{array}{c}2ab=1\\ a^2-b^2=0\end{array}$

čija su rješenja

$a=b=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Izbor glavnog korjena daje

$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

$i=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$

$\begin{array}{cc}\sqrt{i}& ={(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right))}^{\frac{1}{2}}\\ & =\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}+i\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i).\\ \end{array}$

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja $z=x+yi$ je

$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

$|z{|}^2=z\overline{z}=x^2+y^2.$

$\phi =\arg (z)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{if }x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{if }x<0\text{ and }y<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y<0\\ \text{indeterminate }& \text{if }x=0\text{ and }y=0.\end{array}$

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

$\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)=\cos (a+b)$

$\cos (a)\sin (b)+\sin (a)\cos (b)=\sin (a+b)$

imamo

$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)).$

Primjer

$(2+i)(3+i)=5+5i.$

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$

Dijeljenje

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)).$

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

$a+bi=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )$,

$\rho =\sqrt{a^2+b^2},\varphi =\arctan \frac{b}{a}$, za $a>0$ i $\varphi =\pi +\arctan \frac{b}{a}$ za $a<0$; kada je $a=0$ onda je $\varphi =\frac{\pi }{2}$, ako je $b>0$ i $\varphi =-\frac{\pi }{2}$, ako je $b<0$. Broj $\rho$ se naziva moduo kompleksnog broja, a $\varphi$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

$(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^n=\cos n\varphi +i\sin n\varphi$ .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva $a,b,\rho ,\varphi$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora $\rho$ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: $|z|=\rho =\sqrt{a^2+b^2}$.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$;

tj.

$e^{in\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^n$;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa $i$, takvog da je $i^2=-1$.

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_1=r_1(cos{\phi }_1+isin{\phi }_1)$ i $z_2=r_2(cos{\phi }_2+isin{\phi }_2)$

onda je

$z_1{z}_2=r_1(cos{\phi }_1+isin{\phi }_1)r_2(cos{\phi }_2+isin{\phi }_2)=$

$r_1{r}_2(cos{\phi }_{1}cos{\phi }_2+icos{\phi }_{1}sin{\phi }_2+icos{\phi }_{2}sin{\phi }_1+i^{2}sin{\phi }_{1}sin{\phi }_2)=$

$r_1{r}_2((cos{\phi }_{1}cos{\phi }_2-sin{\phi }_{1}sin{\phi }_2)+i(cos{\phi }_{1}sin{\phi }_{2}cos{\phi }_{2}sin{\phi }_1)=$

$r_1{r}_2(cos({\phi }_1+{\phi }_2)+isin({\phi }_1+{\phi }_2)$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_1=r_1(cos{\phi }_1+isin{\phi }_1)$ i $z_2=r_2(cos{\phi }_2+isin{\phi }_2)$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cos{\phi }_1+isin{\phi }_1)}{r_2(cos{\phi }_2+isin{\phi }_2)}=\frac{r_1(cos{\phi }_1+isin{\phi }_1)}{r_2(cos{\phi }_2+isin{\phi }_2)}*\frac{r_1(cos{\phi }_2-isin{\phi }_2)}{r_2(cos{\phi }_2-isin{\phi }_2)}$

$\frac{r_1}{r_2}*\frac{cos{\phi }_{1}cos{\phi }_2-icos{\phi }_{1}sin{\phi }_2+icos{\phi }_{2}sin{\phi }_1-i^{2}sin{\phi }_{1}sin{\phi }_2}{co{s}^2{\phi }_2+si{n}^2{\phi }_2}$

$\frac{r_1}{r_2}(cos({\phi }_1-{\phi }_2)+isin({\phi }_1-{\phi }_2))=\frac{r_1}{r_2}(cis({\phi }_1-{\phi }_2)$

De Moavrova formula =

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=rcis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^2=z*z$

$z^2=rcis\theta *rcis\theta =r^{2}cis(\theta +\theta )=r^{2}cis2\theta$

$z^3=r^{2}cis2\theta *rcis\theta =r^{3}cis(2\theta +\theta )=r^{3}cis3\theta$

$z^4=r^{3}cis3\theta *rcis\theta =r^{4}cis(3\theta +\theta )=r^{4}cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^n=\cos n\varphi +i\sin n\varphi$

Izvori

1. Kompleksni brojevi Šablon:Webarchive
2. Kompleksni brojevi
3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
4. Skup kompleksnih brojeva Šablon:Webarchive