Množenje

3 · 4 = 12, pa 12 kuglica može biti složeno kao 3 vrste po 4 (ili 4 kolone po 3) kuglice

Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao -{a · b}- ili -{a × b}-. [[Operandlli -{a}- i -{b}- se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je -{n}- ∈ ℕ, onda je

$a\cdot n=\underset{n}{\underbrace{a+\cdots +a}}.$

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · -{a · b}- može zapisati i kao 3 -{a b}-

Inverzna operacija množenju je deljenje.

Množenje brojeva

Osobine

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$	(neutral)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$	(svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(asocijativnost)
4. $a\cdot b=b\cdot a$	komutativnost
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	distributivnost množenja prema sabiranju

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

$\mathrm{\forall }a{\mathrm{\exists }}_{1}b:a\cdot b=1$

Inverzan broj broja $a$ se zapisuje kao $\frac{1}{a}$. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

$\frac{1}{\frac{1}{a}}=a$

Množenje celih brojeva

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

Racionalni činioci

Šablon:Poseban članak Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

$a=\frac{p_1}{q_1}\wedge b=\frac{p_2}{q_2}\Rightarrow a\cdot b=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Iracionalni činioci

Šablon:Poseban članak Neka je -{b}- ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod -{a · b}- granična vrednost

$a\cdot b=\underset{\frac{p}{q}\to b}{\lim }a\cdot \frac{p}{q}$

gde je $\frac{p}{q}$ racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja -{b}-.

Množenje kompleksnih brojeva

Šablon:Poseban članak Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

$z=(a,b)=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )$.

Kako je $i^2=-1$, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)$.

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

${\rho }_1(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1)\cdot {\rho }_2(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2)={\rho }_1{\rho }_2(\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+i\sin ({\varphi }_1+{\varphi }_2))$

Množenje vektora

Šablon:Poseban članak Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: $𝐚=(a_x,a_y,a_z)\in {ℝ}^3$.

Množenje vektora skalarom

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

$k\in ℝ,𝐚\in {ℝ}^3\Rightarrow k𝐚=(k{a}_x,k{a}_y,k{a}_z)$

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

$𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$

$\cdot :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ$

$𝐚\cdot 𝐛=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

Skalarni proizvod je komutativan.

Vektorski proizvod

Vektorski proizvod.

Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za ${ℝ}^3$, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

$\times :{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to {ℝ}^3$

$𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$

$𝐚\times 𝐛=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

gde su $𝐢,𝐣$ i $𝐤$ ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

Mešoviti proizvod

Zapremina paralelepipeda koji definišu 3 vektora jednaka je njihovom mešovitom proizvodu.

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:

$[]:{ℝ}^3\times {ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ$

$𝐚,𝐛,𝐜\in {ℝ}^3$

$[𝐚,𝐛,𝐜]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$

Množenje matrica

Šablon:Poseban članak Neka su date matrice -{A}- i -{B}- veličine -{m}-_-{A}-×-{n}-_-{A}- i -{m}-_-{B}-×-{n}-_-{B}-, respektivno. Proizvod -{AB}- je definisan ako je -{n}-_-{A}- = -{m}-_-{B}-, a dobijena matrica ima dimenzije -{m}-_-{A}-×-{n}-_-{B}-. Elementi matrice-proizvoda su

$(AB{)}_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_A}{A}_{i,k}{B}_{k,j}$

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Povezano

• Deljenje
• Stepenovanje
• Tablica množenja
• Linearna funkcija
• Egipatsko množenje