Izvorni kod stranice Max-norma

Norme na <math>  R^2</math> su realne [[Funkcija (matematika)|funkcije]] na<math>  R^2</math> koje posjeduju određene osobine.

Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem [[p-norma|p-normi]] dobili smo razne načine za računanje [[Udaljenost|udaljenosti]] između dvije tačke. 

;Primjer

Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik [[Kvadrat|kvadrata]]. 

Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika [[kružnica|kružnice]] biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, kojeg označavamo s <math>\pi _r</math>, generalizira broj <math>\pi</math>.

Na <math>R^2</math>  često se koristi max-norma. To je poseban slučaj [[P-norma|p-norme]] za <math>p=\infty</math>

<math>\lVert (x,y) \rVert _\infty   = max \{ |x|,|y|\}        </math> za <math>\{x,y\} \in   R^2</math>

Teorema 
za max- normu definisanu sa

<math>\lVert (x,y) \rVert _\infty   = max \{ |x|,|y|\}        </math> za <math>\{x,y\} \in   R^2</math> vazi

<math>
\lim  _{p\rightarrow \infty}(\lVert (x,y) \rVert _p) = \lVert (x,y) \rVert _\infty</math>
za <math>\forall (x,y)\in   R^2
</math>

;Dokaz

<math>\lim  _{p\rightarrow \infty}(\lVert (x,y) \rVert _p)=\lim  _{p\rightarrow \infty}(\sqrt[p]{|x|^p+|y|^p})= </math>

<math>\begin{cases}
   \lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| }  \  za  \ |x|>|y|\\
   \lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{2| }         \   za \|x| = |y|      \\
    \lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{x}{y}| }  \  za \|x|<|y|
\end{cases}
</math>

Za <math>|x|>|y|</math> je

<math>\lVert (x,y) \rVert _\infty =|x|
</math>

<math>\frac{y}{x} < 1\Rightarrow  \lim  _{p\rightarrow \infty}|\frac{y}{x}|^p =0 </math>

<math>\lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| }=|x|=\lVert (x,y) \rVert _\infty</math>

Za <math>|x|=|y|</math> je

<math>\lVert (x,y) \rVert _\infty =|x|=|y|
</math>

<math>\lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| } =|x|\lim  _{p\rightarrow \infty}(\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| } =|x|\lim  _{p\rightarrow \infty}(\sqrt[p]{2 }=|x|=\lVert (x,y) \rVert _\infty

</math>

Za <math>|x|< |y|</math> je

<math>\frac{x}{y} < 1\Rightarrow  \lim  _{p\rightarrow \infty}|\frac{x}{y}|^p =0 </math>

<math>\lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{x}{y}| }=|y|=\lVert (x,y) \rVert _\infty</math>

Neka su <math>T_1  = (x_1,y_1)</math> i <math>T_2  = (x_2,y_2)</math> neke dvije tačke ravni. Udaljenost između <math>T_1</math> i <math>T_2</math> s obzirom na normu <math>\lVert . \rVert</math> računa se kao

<math>d(T_1  ,T_2 )=\lVert (x_1-x_2) ,  ( y_1-y_2 ) \rVert</math>

<math>d(T_1  ,T_2 )_p=(|x_1 |-|x_2 |)^p+(|y_1 |-|y_2 |)^p</math>

Za tačke 
<math>T_1=(2,-3)</math> i <math>T_2=(5,1)</math> imamo

<math>d(T_1  ,T_2 )=\lVert (2-5) +  ( -3-1 ) \rVert=\lVert (-3-4 ) \rVert=7

</math>

<math>d_2(T_1  ,T_2 )= \sqrt{(|2-5 |)^2+(|-3-1 |)^2=\sqrt{9+16}}  =5          </math>

<math>d_\infty(T_1  ,T_2 )=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4 </math>


Ako nacrtamo tačke <math>T_1</math> i <math>T_2</math> u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost

<math>d_2(T_1  ,T_2 )= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-<_2)^2  }       </math> 
jednaka duzini duzi <math>\overline{T_1  T_2}</math> dok je
<math>d_1(T_1,T_2 )=|x_1-x_2 |+|y_1-y_2 |</math> dužina iscrtkanih putova od <math>T_1</math> do <math>T_2</math>.
[[Kategorija:Matematika]] [[Kategorija:Matematičke funkcije]]

Uočimo da samo jedan put od <math>T_1</math> do <math>T_2</math> ima dužinu <math>d_2(T_1, T_2)</math> i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok <math>d_1(T_1,T_2 )</math> puteva ima više.

Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tacke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti.

Primjer

Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednu[[Pravougaonik| pravouglu]] mrežu. Želimo li doći
od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke <math>T_1 = (x_1, y_1)</math> do <math>T_2 = (x_2, y_2)</math>,
onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo <math>d_1(T_1, T_2)</math>, a ne zraćna udaljenost <math>d_2(T_1, T_2)</math> između ovih tacaka.

Sada je jasno zasšto se <math>\lVert (x,y) \rVert_1</math> često naziva taxicab -norma, a ponekad i Manhattan norma.
==Izvor==
p-norme na <math>R^2</math> , kružnice <math>S_p</math>  i brojevi <math>\pi_p</math> // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)