Max-norma

Norme na $R^2$ su realne funkcije na$R^2$ koje posjeduju određene osobine.

Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Primjer

Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik kvadrata.

Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika kružnice biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, kojeg označavamo s ${\pi }_r$, generalizira broj $\pi$.

Na $R^2$ često se koristi max-norma. To je poseban slučaj p-norme za $p=\mathrm{\infty }$

$\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max\{|x|,|y|\}$ za $\{x,y\}\in R^2$

Teorema za max- normu definisanu sa

$\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max\{|x|,|y|\}$ za $\{x,y\}\in R^2$ vazi

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\Vert (x,y){\Vert }_p)=\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ za $\mathrm{\forall }(x,y)\in R^2$

Dokaz

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\Vert (x,y){\Vert }_p)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt[p]{|x{|}^p+|y{|}^p})=$

$\{\begin{array}{c}\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}|}za|x|>|y|\\ \underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(|x|\sqrt[p]{2|}za\Vert x|=|y|\\ \underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{x}{y}|}za\Vert x|<|y|\end{array}$

Za $|x|>|y|$ je

$\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=|x|$

$\frac{y}{x}<1\Rightarrow \underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{y}{x}{|}^p=0$

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}|}=|x|=\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

Za $|x|=|y|$ je

$\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=|x|=|y|$

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}|}=|x|\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}|}=|x|\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt[p]{2}=|x|=\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

Za $|x|<|y|$ je

$\frac{x}{y}<1\Rightarrow \underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{x}{y}{|}^p=0$

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{x}{y}|}=|y|=\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

Neka su $T_1=(x_1,y_1)$ i $T_2=(x_2,y_2)$ neke dvije tačke ravni. Udaljenost između $T_1$ i $T_2$ s obzirom na normu $\Vert .\Vert$ računa se kao

$d(T_1,T_2)=\Vert (x_1-x_2),(y_1-y_2)\Vert$

$d(T_1,T_2{)}_p=(|x_1|-|x_2|{)}^p+(|y_1|-|y_2|{)}^p$

Za tačke $T_1=(2,-3)$ i $T_2=(5,1)$ imamo

$d(T_1,T_2)=\Vert (2-5)+(-3-1)\Vert =\Vert (-3-4)\Vert =7$

$d_2(T_1,T_2)=\sqrt{(|2-5|{)}^2+(|-3-1|{)}^2=\sqrt{9+16}}=5$

$d_{\mathrm{\infty }}(T_1,T_2)=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4$

Ako nacrtamo tačke $T_1$ i $T_2$ u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost

$d_2(T_1,T_2)=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-{<}_2{)}^2}$ jednaka duzini duzi $\overline{T_1{T}_2}$ dok je $d_1(T_1,T_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ dužina iscrtkanih putova od $T_1$ do $T_2$.

Uočimo da samo jedan put od $T_1$ do $T_2$ ima dužinu $d_2(T_1,T_2)$ i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok $d_1(T_1,T_2)$ puteva ima više.

Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tacke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti.

Primjer

Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednu pravouglu mrežu. Želimo li doći od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke $T_1=(x_1,y_1)$ do $T_2=(x_2,y_2)$, onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo $d_1(T_1,T_2)$, a ne zraćna udaljenost $d_2(T_1,T_2)$ između ovih tacaka.

Sada je jasno zasšto se $\Vert (x,y){\Vert }_1$ često naziva taxicab -norma, a ponekad i Manhattan norma.

Izvor

p-norme na $R^2$ , kružnice $S_p$ i brojevi ${\pi }_p$ // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)