Izvorni kod stranice Pravilo derivacije proizvoda

{{matematička analiza}}
U [[matematika|matematici]], '''pravilo derivacije proizvoda''' u [[kalkulus]]u (takođe se naziva i '''Leibnizov zakon'''; pogledajte članak [[derivacija (abstraktna algebra)|derivacija]]), je pravilo [[derivativnost|diferenciranja]] proizvoda diferencijabilnih [[funkcija (matematika)|funkcija]].

Zakon glasi:

:<math>(fg)'=gf'+fg' \,</math>

ili direktno po Leibnizu:

:<math>{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.</math>

== Otkriće od strane Leibniza ==

Otkriće ovog pravila pripisano je [[Gottfried Leibniz|Leibnizu]], koji ga je dokazao koristeći [[diferencijal (matematička analiza)|diferencijale]]. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su ''u''(''x'') i ''v''(''x'') dvije diferencijabilne funkcije od ''x''. Tada je diferencijal od ''uv''

:{|
|-
|<math>d(uv)\, </math>
|<math>= (u + du)(v + dv) - uv\, </math>
|-
|
|<math>= u(dv) + v(du) + (du)(dv) \,</math>
|}

Pošto je (''du'')(''dv'') izanemarivo, Leibniz je zaključio da je

:<math>d(uv) = v(du) + u(dv) \,</math>

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom ''dx'', dobit ćemo

:<math>\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)</math>

koje se može napisati i kao

:<math>(uv)' = v u' + u v'. \,</math>

== Dokaz ==

Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama [[Granična vrijednost funkcije|limesa]] i definicijom derivacije, kao limes [[Isaac Newton|Newtonovog]] [[Priraštaj funkcije|diferencijalnog priraštaja]].

Pretpostavimo

:<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>

i da su i ''f'' i''g'' diferencijabilne u fiksnom broju ''x''. Tada je

:<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)</math>

Sada razlika

:<math> f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) </math>

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

:<math> f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) </math>

Zbog toga, izraz (1) jednak je

:<math>\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)</math>

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

:<math> \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)  </math>

Sada

:<math>\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,</math>

jer ''f''(''x'') ostaje konstanta kao ''w'' &rarr; ''x'';

:<math> \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) </math>

jer je ''g'' diferencijabilna u ''x'';

:<math> \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) </math>

jer je ''f'' diferencijabilna u ''x'';

Na kraju je

:<math> \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\, </math>

jer je ''g'' neprekidna u ''x''. Kako znamo da je ''g'' neprekidna u ''x''? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

:<math> f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,</math>

== Povezano ==

* [[Pravilo izvoda količnika]]
* [[Pravilo izvoda složene funkcije]]
* [[Parcijalna integracija]]
* [[Diferencijal (analiza)]]
* [[Derivacija (apstraktna algebra)]]

[[Kategorija:Matematika]]