Pravilo derivacije proizvoda

Šablon:Matematička analiza U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Zakon glasi:

$(fg{)}^{\prime }=g{f}^{\prime }+f{g}^{\prime }$

ili direktno po Leibnizu:

$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.$

Otkriće od strane Leibniza

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

$d(uv)$	$=(u+du)(v+dv)-uv$
	$=u(dv)+v(du)+(du)(dv)$

Pošto je (du)(dv) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je

$d(uv)=v(du)+u(dv)$

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

$\frac{d}{dx}(uv)=v\left(\frac{du}{dx}\right)+u\left(\frac{dv}{dx}\right)$

koje se može napisati i kao

$(uv{)}^{\prime }=v{u}^{\prime }+u{v}^{\prime }.$

Dokaz

Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

$h(x)=f(x)g(x),$

i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

$h^{\prime }(x)=\underset{w\to x}{\lim }\frac{h(w)-h(x)}{w-x}=\underset{w\to x}{\lim }\frac{f(w)g(w)-f(x)g(x)}{w-x}.(1)$

Sada razlika

$f(w)g(w)-f(x)g(x)(2)$

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

$f(x)(g(w)-g(x))+g(w)(f(w)-f(x)).(3)$

Zbog toga, izraz (1) jednak je

$\underset{w\to x}{\lim }(f(x)\left(\frac{g(w)-g(x)}{w-x}\right)+g(w)\left(\frac{f(w)-f(x)}{w-x}\right)).(4)$

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

$(\underset{w\to x}{\lim }f(x))\left(\underset{w\to x}{\lim }\frac{g(w)-g(x)}{w-x}\right)+(\underset{w\to x}{\lim }g(w))\left(\underset{w\to x}{\lim }\frac{f(w)-f(x)}{w-x}\right).(5)$

Sada

$\underset{w\to x}{\lim }f(x)=f(x)$

jer f(x) ostaje konstanta kao w → x;

$\underset{w\to x}{\lim }\frac{g(w)-g(x)}{w-x}=g^{\prime }(x)$

jer je g diferencijabilna u x;

$\underset{w\to x}{\lim }\frac{f(w)-f(x)}{w-x}=f^{\prime }(x)$

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

$\underset{w\to x}{\lim }g(w)=g(x)$

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

$f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x).$

Povezano

• Pravilo izvoda količnika
• Pravilo izvoda složene funkcije
• Parcijalna integracija
• Diferencijal (analiza)
• Derivacija (apstraktna algebra)