Izvorni kod stranice Skalarni proizvod vektora

'''Skalarni proizvod vektora''' je [[binarna operacija]] koja kao argumente uzima dva [[vektor]]a a rezultat joj je [[Skalar (matematika)|skalar]]. Ako su ova dva vektora ''a'' i ''b'' iz [[vektorski prostor|vektorskog prostora]] ''V'', zapis ove operacije je sledeći:

:<math>(a,b) \mapsto a \cdot b</math>

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

:<math>(u+v)\cdot w = u \cdot w + v \cdot w</math>
:<math>(\alpha u)\cdot v = \alpha(u \cdot v)</math>
:<math>u \cdot v = v \cdot u</math>
:<math>u \ne 0 \Rightarrow u \cdot u > 0</math>

Pri čemu su ''u'', ''v'' i ''w'' vektori iz ''V'' a α proizvoljan [[realan broj]].

[[Datoteka:Scalarproduct.gif|thumb|300px|right|Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora]]

Skalarni proizvod vektora <math>\vec{x}</math> i <math>\vec{y}</math> se definiše na sledeći način:
:<math>\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n</math>

Pri tom su <math>|\vec x|</math> i <math>|\vec y|</math> [[intenzitet vektora|intenziteti]] tih [[vektor]]a, određenih sledećim [[koordinata]]ma:
:<math>\vec{x} = (x_1, x_2, \dots x_n)</math> i <math>\vec{y} = (y_1, y_2, \dots y_n)</math>

Primer skalarnog množenja vektora ''(1, 3, −5)'' i ''(4, −2, −1)'' u trodimenzionalnom prostoru:

:<math>\begin{align}
& (1,3,-5) \cdot (4,-2,-1) \\
& = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
& = 4 - 6 + 5 \\
& = 3
\end{align}
</math>

== Dokaz ==
Formula :<math>\vec x\cdot \vec y =  |\vec x| \cdot |\vec y| \cdot \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right)</math> se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je <math>\gamma</math>, [[ugao]] između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem [[kosinusna teorema|kosinusne teoreme]] može se pisati:

:<math>|\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}</math>

Pošto je <math>\vec c</math> jednak <math>\vec b-\vec a</math>, sledi:

:<math>|\vec b-\vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a| |\vec b| \cdot \cos{\gamma}</math>

Odakle se nalazi:

:<math>\left(\vec b-\vec a\right)\cdot\left(\vec b-\vec a\right) = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}</math>

:<math> \vec b\cdot\vec b -2 \vec a\cdot\vec b+ \vec a\cdot\vec a = \vec a\cdot\vec a + \vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}</math>

Odatle se dobija konačna formula:

:<math>\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b| \cdot \cos{\gamma}.</math>

== Ortogonalni vektori ==

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori <math>\vec{x}</math> i <math>\vec{y}</math> uzajamno normalni dobija se:
:<math>\vec{x}\cdot \vec{y} = 0 </math>.

Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

== Osobine ==
Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:
* [[komutativnost]]
<math>{\vec{a} \cdot \vec{b}} = {\vec{b} \cdot \vec{a}}</math>
* [[distributivnost|distributivan]] je u odnosu na sabiranje
<math>(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}</math>
* u opštem slučaju nije [[asocijativnost|asocijativan]]
* za njega važi sledeće:
<math>(\alpha \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\alpha \vec{b}) = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b}</math>

== Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora ==
Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:
:<math>\vec x\cdot \vec y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.</math>
Za specijalan slučaj kada je <math>\vec{x} = \vec{y}</math> jednakost prelazi u:
<math>\vec{x} \cdot \vec{x} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \dots + {x_n}^2</math>
:Na osnovu toga se zaključuje:
:<math>| \vec x | = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.</math>
Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.
== Primena u fizici ==
Pošto su sami vektori primenjivi u [[Fizika|fizici]] i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj.
Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora [[sila|sile]] i vektora [[pomeraj]]a:
:<math>A=\vec F \cdot \vec r = |\vec F| \cdot |\vec r| \cdot \cos \alpha</math>

== Geometrijska interpretacija ==
Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

:<math> \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \,</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>\theta =  \arccos \left( \frac {\vec{a}\cdot\vec{b}} {|\vec{a}||\vec{b}|}\right).</math>

== Povezano ==
* [[Vektor]]
* [[Skalar]]
* [[Vektorski proizvod]] vektora
* [[Mešoviti proizvod vektora]]

== Literatura ==
* Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd

[[Kategorija:Binarne operacije]]
[[Kategorija:Fizika]]
[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Vektori]]