Skalarni proizvod vektora

Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledeći:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$

$(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$

$u\cdot v=v\cdot u$

$u\ne 0\Rightarrow u\cdot u>0$

Pri čemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora

Skalarni proizvod vektora $\overrightarrow{x}$ i $\overrightarrow{y}$ se definiše na sledeći način:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|\cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n$

Pri tom su $|\overrightarrow{x}|$ i $|\overrightarrow{y}|$ intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots x_n)$ i $\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\dots y_n)$

Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:

$\begin{array}{cc}& (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\ & =1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\ & =4-6+5\\ & =3\end{array}$

Dokaz

Formula :$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}|\cdot |\overrightarrow{y}|\cdot \cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je $\gamma$, ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

$|\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

Pošto je $\overrightarrow{c}$ jednak $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, sledi:

$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

Odakle se nalazi:

$(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma$

Odatle se dobija konačna formula:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cdot \cos \gamma .$

Ortogonalni vektori

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori $\overrightarrow{x}$ i $\overrightarrow{y}$ uzajamno normalni dobija se:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=0$.

Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

Osobine

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

• komutativnost

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$

• distributivan je u odnosu na sabiranje

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

• u opštem slučaju nije asocijativan
• za njega važi sledeće:

$(\alpha \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot (\alpha \overrightarrow{b})=\alpha \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n.$

Za specijalan slučaj kada je $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ jednakost prelazi u: $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+\dots +{x_n}^2$

Na osnovu toga se zaključuje:

$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}}=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.$

Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

Primena u fizici

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj. Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

$A=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{r}=|\overrightarrow{F}|\cdot |\overrightarrow{r}|\cdot \cos \alpha$

Geometrijska interpretacija

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ $⟹$ $\theta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\right).$

Povezano

• Vektor
• Skalar
• Vektorski proizvod vektora
• Mešoviti proizvod vektora

Literatura

• Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd