Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija.

Definicija

Ako je $V$ ne-prazan arbitraran set objekata, $F$ određeni set skalara koji ima strukturu polja. Također postoji definicija zbroja dva objekt u setu $V$, te umnoška sklara iz seta $F$ i objekta iz seta $V$.

V se može smatrati vektorskim prostorom ukoliko zadovoljava sljedeće aksiome:

• $A$ i $B$ su objekti u $V$, vrijedi da je $A+B$ objekt u $V$.
• $k$ je skalar u $F$, a $A$ objekt u $V$, vrijedi da je $kA$ objekt u $V$.
• $A$ i $B$ su objekti u $V$, vrijedi pravilo asocijativnosti odnosno $A+B=B+A$.
• $A$, $B$ i $C$ su objekti u $V$, vrijedi pravilo komutativnosti odnosno $A+(B+C)=(A+B)+C$
• $k$ je skalar u $F$, a $A$ i $B$ su objekti u $V$, vrijedi $k(A+B)=kA+kB$
• $k$ i $l$ su skalari u $F$, a $A$ je objekt u $V$, vrijedi $(k+l)A=kA+lA$
• $k$ i $l$ su skalari u $F$, a $A$ je objekt u $V$, vrijedi $k(lA)=(kl)A$
• $1$ je neutralni element za množenje u $F$, a $A$ je objekt u $V$, vrijedi $1A=A$
• $0$ nulti vektor u $V$, a $A$ objekt u $V$, vrijedi $A+0=A$
• $A$ je objekt u $V$, a $-A$ njegov zbrojni inverz u $V$, vrijedi $A+(-A)=0$

S obzirom da je vektorski prostor $V$, definiran i $F$, može se pisati $V(F)$ (čit. vektorski prostor $V$ nad $F$).

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Takođe, vektorski prostor u kojem je definisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.

Primjeri

• $n\times m$ matrice
• Vektori u ${ℝ}^n$
• Realni brojevi
• Polinomi

Vektorski podprostor

Poneakad je moguće definirati novi set $S$ u kojem svi elementi pripadaju i nekom vektornom prostoru $V$ . U tom se slučaju većina prije naznačenih aksioma će biti naslijeđena osim:

• $A$ i $B$ su objekti u $V$, vrijedi da je $A+B$ objekt u $V$.
• $k$ je skalar u $F$, a $A$ objekt u $V$, vrijedi da je $kA$ objekt u $V$.

Primjeri

• parni broj kao podprostor realnih brojeva
• Cijeli brojevi kao podprostor realnih brojeva
• Racionalni brojevi kao podprostor realnih brojeva
• Neprekidne funkcije kao podprostor funkcija
• Diferencijabilne funkcije kao prodpostor funkcija

Literatura

• Anton, H.  (04/2014). Elementary Linear Algebra with Supplemental Applications, International Student Version, 11th Edition [VitalSource Bookshelf version].  Retrieved from vbk://9781118707241