Kardinalnost

Skup S platonskih tela, ima 5 elemenata. Dakle $|S|=5$.

Kardinalnost (kardinalitet) je pojam iz matematike iz teorije skupova, koji označava broj elemenata nekog skupa. Na primjer, skup A = {2, 4, 6} sadrži 3 elementa, dakle kardinalnost skupa A je 3.

Georg Kantor je u 19. veku uveo pojam kardinalnosti za ispitivanje beskrajnih skupova. Po njemu, dva skupa koja je moguće staviti u odnos jedan na jedan imaju jednaku kardinalnost, odnosno isti broj članova. Po tom kriteriju, moguće je da podskup nekog beskonačnog skupa bude iste veličine kao sam skup, što kod konačnih skupova nije moguće.

Kardinalnost skupa A se obično označava kao |A|. Pošto je ovaj zapis isti kao i za apsolutnu vrijednost, značenje zapisa ovisi o kontekstu.

Upoređivanje skupova

Bijektivna funkcija od skupa N na skup parnih brojeva E. Iako je E podskup N, oba skupa imaju jednaku kardinalnost.

Za dva skupa A i B kažemo da imaju istu kardinalnost ako postoji bijekcija, tj. injektivna i surjektivna funkcija, sa A na B. Na primer, skup pozitivnih parnih brojeva E = {2, 4, 6, ...} i skup prirodnih brojeva N imaju istu kardinalnost, pošto je funkcija $f(n)=2n$ bijekcija sa N na E.

Formalni zapis

Dva su skupa jednake kardinalnosti odnosno ekvipotentni su ako postoji bijekcija:

$f:A\to B$ onda je izraz:

$k(A)=k(B)$

Postoji li injekcija

$f:A\to B$ onda je izraz:

$k(A)\le k(B)$

a ako postoji surjekcija

$f:A\to B$, onda je izraz:

$k(A)\ge k(B)$

Ovdje je implicitno uporabljen aksiom izbora.

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva zove se alef nula i formalni zapis je:

$k(N)={\mathrm{\aleph }}_0$

Ako za skup A postoji bijekcija:

$f:A\to ℝ$,

onda je kardinalnost skupa A jednak kontinuum i u formalnom jeziku:

$k(R)=c$.

Povezano

• Teorija skupova
• Beskonačnost