Pravilni poliedri

„Kocke“ u obliku pravilnih poliedara. Koriste se za dobijanje slučajnih brojeva u određenom opsegu

Pravilni poliedri (ili platonska čvrsta tela) su pravilni konveksni poliedri čije su zajedničke karakteristike:

• Svaki pravilni poliedar je omeđen površima istog oblika
• Ove površi su pravilni mnogoulgovi,
• Iz svakog temena jednog pravilnog poliedra polazi jednak broj ivica,
• Jedan pravilni poliedar se ne može dobiti spajanjem više drugih

Ovih geometrijskih tela ima svega pet:

1. tetraedar,
2. heksaedar (kocka),
3. oktaedar,
4. dodekaedar i
5. ikosaedar.

Površina poliedra

Površina geometrijskog tijela je ukupna površina svih ploha koje ga omeđuju. Površina poliedra je zbir površina svih njegovih strana.

Prizma

B – površina baze

P – površina strane,

o –obim baze

v – dužina visine

$P==2B+P$

Za uspravnu prizmu vrijedi

$P=2B+ov.$

Piramida

B – površina baze

P – površina strane

v – dužina visine

$P=B+P$

Krnja piramida

$B_1$, $B_2$ – povrsine baza

P – površina strana

v – dužina visine

$P=B_1+B_2+P$

Zapremina

Zapremina geometrijskog tijela je mjera prostora kojeg tijelo zauzima.

Prizma

$V=Bv$

Piramida

$V=\frac{1}{3}Bv$

Krnja piramida

$V=\frac{v}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1{B}_2})$

Pet pravilnih poliedara

Pet pravilnih poliedara
Ime	Tetraedar	Heksaedar ili Kocka	Oktaedar	Dodekaedar	Ikosaedar
Slika	(Animacija)	(Animacija)	(Animacija)	(Animacija)	(Animacija)
Razmotana figura
Površi	4 trougla	6 kvadrata	8 trouglova	12 petouglova	20 trouglova
Broj ivica/temena	6 / 4	12 / 8	12 / 6	30 / 20	30 / 12
Broj ivica u jednom temenu	3	3	4	3	5

Kocka

Kocka je pravilna četverostrana prizma. Spada u paralelepipede. Sastoji se od šest podudarnih kvadrata, njenih strana. Ima 12 ivica i 8 vrhova.

Formule

Zapremina $V=a^3$

Površina $P=6a^2$

Manja dijagonala $d=a\sqrt{2}$

Prostorna dijagonala $D=a\sqrt{3}$

Radijus upisane sfere $r_u=\frac{a}{2}$

Radijus opisane sfere $r_o=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Oktaedar

Oktaedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa osam međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostranicnih trouglova i raspoređene su tako da tijelo ima dvanaest ivica i sest tjemena.

Oktaedar se još može opisati i kao jednakostranična četvrostrana bipiramida i kao jednakostranična linearna antiprizma.

Formule

Zapremina $V=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$

Površina $P=2\sqrt{3}{a}^2$</math>

Poluprečnik upisane sfere $r_u=\frac{\sqrt{6}}{6}a$

Poluprečnik opisane sfere $r_o=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Ikosaedar

Ikosaedar je omeđen sa dvadeset međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostraničnih trouglova. Raspoređene su tako da tijelo ima trideset ivica i dvanaest tjemena.

Formule

1. Površina $P=5\sqrt{3}{a}^2$
2. Zapremina$V=\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3$
3. Poluprečnik upisane sfere $r_u=\frac{a}{12}\sqrt{3}(3+\sqrt{5})$
4. Poluprečnik upisane sfere$r_o=\frac{a}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$

Dodekaedar

Dodekaedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa dvanest međusobno podudarnih površi koje imaju oblik

Formule

Površina $P=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}{a}^2$

Zapremina $V=\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3$

Poluprečnik upisane sfere |$r_u=\frac{\sqrt{5}}{20}\sqrt{50+22\sqrt{5}}a$

Poluprečnik opisane sfere $r_o=\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5})a$

Tetraedar

Tetraedar je geometrijsko tijelo koga ograničavaju četiri trougaone površi i, koje zajedno sa dijelom prostora koga omeđuju jednoznačno formiraju tijelo sa četiri tjemena i šest ivica.

Naziv se u koristi za pravilni tetraedar, kod koga su ove četiri površi podudarni jednakostranični trouglovi.

Formule

Površina $P=\sqrt{3}{a}^2$

Zapremina $V=\begin{array}{c}\frac{1}{12}\end{array}\sqrt{2}{a}^3$

Poluprečnik opisane sfere $r_o=\frac{\sqrt{6}}{4}a\approx 0,61a$

Poluprečnik upisane sfere $r_u=\frac{\sqrt{6}}{12}a\approx 0,20a$

Visina $h=r_o+r_u=\frac{\sqrt{6}}{3}a=\sqrt{\frac{2}{3}}a\approx 0,82a$

Ugao između ivice i površi $arctg\sqrt{2}\approx 55^{\circ }$

Ugao između dvije površi $\arccos 1/3=arctg2\sqrt{2}\approx 71^{\circ }$

Šablon:Klica-matematika Šablon:Commonscat