Bernulijeva jednačina

Bernulijeva jednačina ili Bernoullijeva jednadžba prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja ne stišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen statički tlak i obratno. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima. Drugim riječima Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon održanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da Za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:

• potencijalne energije ... $z+\frac{p}{\rho g}$
  i
• kinetičke energije ... $\frac{v^2}{2g}$.

Objašnjenje Bernoullieve jednadžbe

697x697piskel

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su pijezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma tih visina je konstantna i jednaka H bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički tlak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi B. jednadžba

ρ – Gustoća - $(kg/m^3)$

S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - $(m^2)$.

p - statički tlak - (Pa)

v - brzina - (m/s)

m – masa tekućine - (kg)

R - mehanički rad - (W)

V - volumen mase tekućine - $(m^3)$

• Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.

• • $z$ geodetska visina odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu u $(m)$
  • $\frac{p}{\rho g}$ pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi u $(m)$
  • $\frac{v^2}{2g}$ je brzinska visina u $(m)$, a brzina $v$ predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
  • Ukupan zbroj energija daje Bernoullijevu jednadžbu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka $S_2$ i statičkog tlaka $p_2$ tekućina dobije veću brzinu $v_2$. Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

$\frac{m\cdot v_1^2}{2}$

a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:

$\frac{m\cdot v_2^2}{2}$

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao radi razlike tlakova ($p_1-p_2$) $s_1$ pri gibanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = ($p_1-p_2$) $s_1$ ΔS

R= ($p_1-p_2$) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

($p_1-p_2$) V = $\frac{m\cdot v_2^2}{2}$ - $\frac{m\cdot v_1^2}{2}$

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = $\frac{m}{V}$ dobivamo Bernoullijevu jednađbu:

$p_1$ + $\frac{\rho \cdot v_1^2}{2}$ = $p_2$ + $\frac{\rho \cdot v_2^2}{2}$ = $p_3$ + $\frac{\rho \cdot v_3^2}{2}$ = konst.

Izrazi $\frac{\rho \cdot v_1^2}{2}$ , $p_2$ + $\frac{\rho \cdot v_2^2}{2}$ i $p_3$ + $\frac{\rho \cdot v_3^2}{2}$ prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu

Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:

1. tekućina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
2. Stacionarno strujanje

$z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}=H$

• • $H$ predstavlja hidrodinamički tlak ili ukupnu specifičnu energiju u $(m)$.

Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja

Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:

1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala

Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik

$\frac{1}{\rho }\frac{\delta p}{\delta x}=X-\frac{du}{dt}$ ... ... ...(1E)
$\frac{1}{\rho }\frac{\delta p}{\delta y}=Y-\frac{dv}{dt}$ ... ... ...(2E)
$\frac{1}{\rho }\frac{\delta p}{\delta z}=Z-\frac{dW}{dt}$ ... ... ...(3E)

$\rho =konst$ - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:

• imamo stacionarno strujanje

matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i sumiramo dobivene jednadžbe.

$\frac{1}{\rho }(\frac{\delta p}{\delta x}dx+\frac{\delta p}{\delta y}dy+\frac{\delta p}{\delta z}dz)=Xdx+Ydy+Zdz-(du\stackrel{u}{\overbrace{\frac{dx}{dt}}}+dv\stackrel{v}{\overbrace{\frac{dy}{dt}}}+dw\stackrel{w}{\overbrace{\frac{dz}{dt})}}$

pa dobijemo jednadžbu:

$0=Xdx+Ydy+Zdz-\frac{1}{\rho }\delta p-(udu+vdv+wdw)$

možemo derivirati

$udu=\frac{1}{2}d{u}^2$
$vdv=\frac{1}{2}d{v}^2$
$wdw=\frac{1}{2}d{w}^2$

dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe

$0=Xdx+Ydy+Zdz-\frac{\delta p}{\rho }-\frac{1}{2}d(u^2+v^2+w^2)$
$0=Xdx+Ydy+Zdz-\frac{\delta p}{\rho }-\frac{1}{2}d(W^2)$

• ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;

$X=0,Y=0,Z=-g$
$-gdz-\frac{\delta p}{\rho }-\frac{1}{2}d(W^2)=0...operacije/\int /:-g$
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe:
$z+\frac{p}{\rho g}+\frac{W^2}{2g}=konstanta$

Oblik Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu

$z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{{\alpha }_1{v}_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{{\alpha }_2{v}_2^2}{2g}+\mathrm{\Delta }H$

• • $\mathrm{\Delta }H$ je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u $(m)$.

Coriolisov koeficijent

Ili koeficijent kinetičke energije ${\alpha }_{1,2}$. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim točkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:

• • kod strujanja u cijevima $\alpha =1,0$
  • kod strujanja u otvorenim vodotocima $\alpha =1,1$
  • vrijednost $\alpha$ možemo računati ovom formulom:

$\alpha =\frac{\underset{A}{\int }{v}^{3}dA}{v_{sr}^{3}A}$ - postavlja se uvjet da je $\alpha \ge 1$

Praktična primjena Bernoullieve jednadžbe

Primjer cijevi pod tlakom

cijev pod tlakom

znamo: $d=konstantno,Q=konstantno->v=konstantno$.

gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: $z_1=z_2$

$z_1+\frac{p_1}{\rho g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\mathrm{\Delta }H$
$\mathrm{\Delta }H=(z_1+\frac{p_1}{\rho g})-(z_2+\frac{p_2}{\rho g})$

Primjer za otvoreni vodotok

znamo: ako je strujanje jednoliko $v=konstantno.$

$l_0=l_p=l_e=l$

$p_1=p_2=p_{atm}$

• atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
• u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku

linija vodnog lica je pijezometarska linija

Zaključak

$p_s+p_d=p_u=konst.$

gdje je $p_s$ statički tlak, $p_d=\frac{\rho \cdot v^2}{2}$ dinamički tlak, a $p_u$ ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

• Bernoullijev zakon ili Bernoullieva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama tj. fluidima Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.