Binomna teorema

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)ⁿ sumom sabiraka oblika ax^by^c, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i yjednak n za svaki sabirak. Na primer:

(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} .

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz x^n−ky^k jednak broju različitih kombinacija kelemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule

Koeficijent koji stoji uz x^n−ky^k dat je formulom:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k (k - 1) \dots 1} = \prod_{ℓ = 1}^{k} \frac{n - ℓ + 1}{ℓ}

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:

\begin{matrix} (x + y)^{n} & = (\binom{n}{0}) x^{n} y^{0} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y^{1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} y^{2} + (\binom{n}{3}) x^{n - 3} y^{3} + \dots \\ \dots + (\binom{n}{n - 1}) x^{1} y^{n - 1} + (\binom{n}{n}) x^{0} y^{n}, \end{matrix}

gde $(\binom{n}{k})$ označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} .

Literatura

Šablon:Refbegin

Šablon:Refend

Vanjske veze

Šablon:Commonscat

Šablon:SpringerEOM
Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Binomna teorema

Sadržaj

Formule

Iskaz teoreme

Literatura

Vanjske veze

Navigacija

Binomna teorema

Formule

Iskaz teoreme

Literatura

Vanjske veze

Navigacija

Pretraga