Brocardove tačke u trouglu

Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922). U trouglu $ABC$ tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži $AP$, $BP$ i $CP$ i stranica $c$,$a$ i $b$ redom, jednaki, tj.

$\measuredangle PAB=\measuredangle PBC=\measuredangle PCA=\omega$

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu $ABC$, a ugao $\omega$ Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka $Q$, trougla $ABC$ takva da su jednaki uglovi između duži $AQ$, $BQ$, $CQ$ i stranica $b$, $c$ i$a$ redom, tj.

$\measuredangle QCB=\measuredangle QBA=\measuredangle QCA=\omega$

Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi $\measuredangle TAB=\measuredangle TBC=X$ tada je

$\measuredangle TBA=\measuredangle B-X=>\measuredangle BTA=180-\measuredangle B$

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž $AB$ vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke $A$, $B$, $T$. To je $C_c$ . Na isti način nacrtajmo kružnicu $C_a$. Izabereno tačku U tako da važi:

$\measuredangle UBC=\measuredangle UCA$

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku $P$ važi: $\measuredangle PAB=\measuredangle =PBC=\measuredangle PCA$

Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:

$cot\omega =cot\measuredangle A+cot\measuredangle B+cot\measuredangle C$

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla $ABC$. Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

$\frac{CP}{sin(A-\omega }=\frac{AC}{sin(\measuredangle APC}$ i

$\frac{CP}{sin\omega }=\frac{BC}{sin\measuredangle BPC}$

Iz ranije dokazanog

$\measuredangle APC=180-\measuredangle A$ i

$\measuredangle BPC=180-\measuredangle C$

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

$\frac{sin\omega }{sin(A-\omega )}=\frac{AC}{BC}\frac{sin\measuredangle C}{sin\measuredangle A}=>$$sin(A-\omega )=\frac{a}{b}\frac{sin\measuredangle A}{sin\measuredangle C}$

Iz sinusne teoreme znamo da važi

$\frac{a}{b}=\frac{sin\measuredangle A}{sin\measuredangle B}=>sin(A-\omega )=\frac{(sin\measuredangle A{)}^2\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}$

$sin(A-\omega )=sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega$

$sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega =\frac{(sin\measuredangle A{)}^2\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}$

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema

Važi: $cot\omega =\frac{s^2+b^2+c^2}{4P}$ gde je P površina trougla $ABC$.

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

$P\left[\begin{array}{c}c/b:a/c:b/a\end{array}\right]$

$Q\left[\begin{array}{c}b/c:c/a:a/b\end{array}\right]$

Neka je $ABCD$ tetivničetvorougao. Prave $AB$ i $CD$ se sijeku u tački E, prave $AD$ i $BC$ se sijeku u tački F a prave $AC$ i $BD$ u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla $ABCD$ ortocentar trougla $EFG$.

Dokaz

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice

Presjek tetiva $ab$ i $cd$ jedninične kružnice je tačka

$t=\frac{ab(c+d)-cd(a+b}{ab-cd}$ ]

važe jednakosti:

$e=\frac{ab(c+d)-cd(a+b)}{ab-cd}$

$f=\frac{ad(b+c)-bc(a+d)}{ad-bc}$

$g=\frac{ac(b+d)-bd(a+c)}{ac-bd}$

Da bismo pokazali da je $o$ ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je $of\perp eg$ i $og\perp ef$.

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

$\frac{f-o)}{f-\overline{o}}=\frac{e-g)}{e-\overline{g}}$

$\frac{f-o)}{f-\overline{o}}=\frac{f)}{\overline{f}}=\frac{\frac{ad(b+c)-bc(a+a)}{ad-bc})}{\frac{(b+c)-(a+d)}{ad-bc}}=<math>f=\frac{ad(b+c)-bc(a+d)}{(b+c)-(a+d)}$

$e-g=\frac{(a-d)(a{b}^{2}d-a{c}^{2}d)-(b-c)(bc{d}^2-a^{2}bc)}{(ab-cd)(ac-bd)}=$

$\frac{(a-d)(b-c)(b+c)ad-(a+d)bc}{(ab-cd)(ac-bd)}$

Konjugovanjem dobijamo

$\overline{e}-\overline{g}=\overline{(\frac{(a-d)(b-c)(b+c)ad-(a+d)bc}{(ab-cd)(ac-bd)})}=\frac{(a-d)(b-c)(b+c)-(a+d)}{(ab-cd)(ac-bd)}$

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je dokazana Brokardova teorema.

Izvor

Značajne tačke i linije u trouglu