Ermitovi polinomi

Ermiteovi polinomi predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema Šarlu Ermitu, koji ih je izučavao 1864. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora.

Definicija

Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma:

$(1){𝐻𝑒}_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}$

("probabilistički' Ermiteovi polinomi"), i

$(2)H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}=e^{x^2/2}(x-\frac{d}{dx}{)}^n{e}^{-x^2/2}$

("fizikalni' Ermiteovi polinomi"). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije:

$H_n(x)=2^{n/2}{𝐻𝑒}_n(\sqrt{2}x),{𝐻𝑒}_n(x)=2^{-\frac{n}{2}}{H}_n\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).$

Prvih šest probabilističkih Ermiteovih polinoma He_n(x).

Prvih jedanaest polinoma je:

${𝐻𝑒}_0(x)=1$

${𝐻𝑒}_1(x)=x$

${𝐻𝑒}_2(x)=x^2-1$

${𝐻𝑒}_3(x)=x^3-3x$

${𝐻𝑒}_4(x)=x^4-6x^2+3$

${𝐻𝑒}_5(x)=x^5-10x^3+15x$

${𝐻𝑒}_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15$

${𝐻𝑒}_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x$

${𝐻𝑒}_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105$

${𝐻𝑒}_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x$

${𝐻𝑒}_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945$

Prvih šest fizikalnih Ermiteovih polinoma H_n(x).

Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=4x^2-2$

$H_3(x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120$

$H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x$

$H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680$

$H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240$

Ermiteov polinom može da se predstavi i matricom:

$H_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}x& n-1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& x& n-2& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& x& n-3& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 0& \cdots & x\end{array}\right|$

Ortogonalnost

H_n(x) i He_n(x) predstavljaju polinome ntoga-stepena za n = 0, 1, 2, 3, .... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru)

$w(x)={\mathrm{e}}^{-x^2/2}$   (He)

ili

$w(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$   (H)

tj. mi immo:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m(x)H_n(x)w(x)\mathrm{d}x=0$

kada je m ≠ n. Dalje,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝐻𝑒}_m(x){𝐻𝑒}_n(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2}\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }n!{\delta }_{nm}$   (probabilistički)

ili

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_m(x)H_n(x){\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }{2}^{n}n!{\delta }_{nm}$   (fizikalna).

Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće.

Rekurzivne relacije

Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije:

${𝐻𝑒}_{n+1}(x)=x{𝐻𝑒}_n(x)-{{𝐻𝑒}_n}^{\prime }(x).$ (probabilistička)

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-{H_n}^{\prime }(x).$ (fizikalna)

Ermiteovi polinomi predstavljaju Apelov niz, tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine

${{𝐻𝑒}_n}^{\prime }(x)=n{𝐻𝑒}_{n-1}(x),$ (probabilistička)

${H_n}^{\prime }(x)=2n{H}_{n-1}(x),$ (fizikalna)

ili ekvivalentno,

${𝐻𝑒}_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{𝐻𝑒}_k(y)$ (probabilistička)

$H_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})H_k(x)(2y{)}^{(n-k)}=2^{-\frac{n}{2}}\cdot \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})H_{n-k}\left(x\sqrt{2}\right)H_k\left(y\sqrt{2}\right).$ (fizikalna)

Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije:

${𝐻𝑒}_{n+1}(x)=x{𝐻𝑒}_n(x)-n{𝐻𝑒}_{n-1}(x),$ (probabilistička)

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x).$ (fizikalna)

Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali.

Generirajuće funkcije

Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom:

$\exp (xt-t^2/2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{𝐻𝑒}_n(x)\frac{t^n}{n!}$ (probabilistička)

$\exp (2xt-t^2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!}$ (fizikalna).

Eksplicitni izraz

Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao:

$H_n(x)=n!\sum _{\ell =0}^{n/2}\frac{(-1{)}^{n/2-\ell }}{(2\ell )!(n/2-\ell )!}(2x{)}^{2\ell }$

za parne n i

$H_n(x)=n!\sum _{\ell =0}^{(n-1)/2}\frac{(-1{)}^{(n-1)/2-\ell }}{(2\ell +1)!((n-1)/2-\ell )!}(2x{)}^{2\ell +1}$

za neparne n. Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu:

$H_n(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^m}{m!(n-2m)!}(2x{)}^{n-2m}.$

Ermiteova diferencijalna jednačina

Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine:

$(e^{-x^2/2}{u}^{\prime }{)}^{\prime }+\lambda e^{-x^2/2}u=0$

gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da u treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je u(x) = H_λ(x). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku:

$L[u]=u^{″}-x{u}^{\prime }=-\lambda u$

Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu:

$u^{″}-2x{u}^{\prime }=-2\lambda u$

čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi.

Ermiteova funkcija

Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma::

${\psi }_n(x)=(2^{n}n!\sqrt{\pi }{)}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-x^2/2}{H}_n(x)=(-1{)}^n(2^{n}n!\sqrt{\pi }{)}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{\mathrm{e}}^{-x^2}$

Pošto te funkcije sadrže kvadratni koren funkcije težine one su ortonormalne:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }_n(x){\psi }_m(x)\mathrm{d}x={\delta }_{nm}$

Ermiteove funkcije zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu:

${{\psi }_n}^{″}(x)+(2n+1-x^2){\psi }_n(x)=0.$

Ta jednačina ekvivalentna je Šredingerovoj jednačini za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije.

Ermiteove funkcije 0 (crna), 1 (crvena), 2 (plava), 3 (žuta), 4 (zelena), and 5 (ljubičasta).

Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije:

${{\psi }_n}^{\prime }(x)=\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)-\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x)$

kao i

$x{\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}(x)$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Šablon:ISBN