Euklidska udaljenost

Euklidska udaljenost je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru. U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi

Definicija

Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta prave koja ih povezuje $\overline{𝐩𝐪}$.

U Kartezijevim koordinatama, ako su $p=(p_1,p_2,...,p_n)$ i $q=(q_1,q_2,...,q_n)$ dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}(𝐩,𝐪)=\mathrm{d}(𝐪,𝐩)& =\sqrt{(q_1-p_1{)}^2+(q_2-p_2{)}^2+\cdots +(q_n-p_n{)}^2}\\ & =\sqrt{\sum _{i=1}^n(q_i-p_i{)}^2}.\end{array}$

Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:

$\Vert 𝐩\Vert =\sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2}=\sqrt{𝐩\cdot 𝐩},$

Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:

$𝐪-𝐩=(q_1-p_1,q_2-p_2,\cdots ,q_n-p_n)$

U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je

$\Vert 𝐪-𝐩\Vert =\sqrt{(𝐪-𝐩)\cdot (𝐪-𝐩)}.$

ili

$\Vert 𝐪-𝐩\Vert =\sqrt{{\Vert 𝐩\Vert }^2+{\Vert 𝐪\Vert }^2-2𝐩\cdot 𝐪}.$

Jednodimenzionalna udaljenost

u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je

$\sqrt{(x-y{)}^2}=|x-y|.$

Dvodimenzionalna udaljenost

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:

Dužina horizontalne linije je kateta: $x=x_1-x_2.$

Dužina vertikalne linije je kateta: $y=y_1-y_2.$

Prema tome udaljenost je hipotenuza: $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}.$

Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost.

Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda

$\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}.$

Trodimenzionalna udaljenost

U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je

$d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+(p_3-q_3{)}^2}$

n - domenzionalna udaljenost

U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je

$d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+\cdots +(p_i-q_i{)}^2+\cdots +(p_n-q_n{)}^2}.$${\displaystyle }$

Kvadrat Euklidske udaljenosti

Kvadrat Euklidske udaljenosti je

$d^2(p,q)=(p_1-q_1{)}^2+(p_2-q_2{)}^2+\cdots +(p_i-q_i{)}^2+\cdots +(p_n-q_n{)}^2.$

Izvor

Cluster Analysis /March 2, 2011.