Fibonaccijevi polinomi

U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.

Definicija

Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja:

$F_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ako je}n=0\\ 1,& \text{ako je }n=1\\ x{F}_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),& \text{ako je }n\ge 2\end{array}$

Osobine

Prvih par Fibonačijevih polinoma su:

$F_1(x)=1$

$F_2(x)=x$

$F_3(x)=x^2+1$

$F_4(x)=x^3+2x$

$F_5(x)=x^4+3x^2+1$

$F_6(x)=x^5+4x^3+3x$

Fibonačijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od F_n je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi

$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n(x)t^n=\frac{t}{1-xt-t^2}.$

Lucasovi polinomi

Odgovarajući Lucasovi polinomi L_n(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:

$L_n(x)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{ako je }n=0\\ x,& \text{ako je }n=1\\ x{L}_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),& \text{ako je }n\ge 2\end{array}$

Prvih par Lucasovih polinoma su:

$L_1(x)=x$

$L_2(x)=x^2+2$

$L_3(x)=x^3+3x$

$L_4(x)=x^4+4x^2+2$

$L_5(x)=x^5+5x^3+5x$

$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2+2$

Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od L_n je n. Obična generativna funkcija za niz glasi

$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n=\frac{2-xt}{1-xt-t^2}.$

Reference

• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite journal

Vanjske veze

• Šablon:MathWorld
• Šablon:MathWorld