Kubna funkcija

Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika: $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, gdje je a različito od nule.

Karakteristične vrijednosti kubne funkcije

$f(x)=x^3+3x^2-6x-8$

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno).

Nulišta kubne funkcije

U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:

$x^3+3x^2-6x-8=0$

rješenja koje su :

$x_1=-4,x_2=-1,x_3=2$

Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.

Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.

Ekstremi kubne funkcije

Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju

$y=x^3+3x^2-6x-8$

točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:

$dy=3x^{2}dx+6xdx-6dx$

odakle slijedi da je

$dy=(3x^2+6x-6)dx$

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6=x^2+2x-2.$

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja kvadratne jednadžbe zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama

$x_{1,2}=-1\pm \sqrt{3}.$

O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.