Kubne jednačine

Posmatrajmo polinom trečeg stepena

$y(x)=a{x}^3+b{x}^2+cxd$ za $a\ne 0$

koja siječe x-osu u taČkama koje su nule odgovarajuće jednačine trečeg stepena (kubne jednačine).

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

Vieteove formule

Rješenja $x_1,x_2,x_3$ jednačine $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.$

Primjer

$x^3-3x^2-x+3=0$

i ima nule, rješenja

$x=-1$

$x=1$

$x=3$

U jednačini

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ $a\ne 0$

smjenom

$y=b-\frac{b}{3a}$

postaje

$y^3+py+q=0$

za

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}$ i $q=\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{2b^3}{37a^3}$

Diskriminanta kubne jednačine

Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta

$D=a^4(x_1-x_2{)}^2(x_2-x_3{)}^2(x_3-x_1{)}^2)$

pripadnog polinoma :$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ gdje su $x_1,x_2,x_3$ korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi

$D=-4b^{3}d+b^2{c}^2-4a{c}^3+18abcd-27a^2{d}^2.$

Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima.

I izraz

$D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ je diskriminanta

Osobine rješenja jednačine

Za $D<0$ ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja

Za $D=0$ ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje

Za $D>0$ ima sva tri realna i različita rješenja

Primjer

Jednačina

$y=x^3-3x^2-x+3$ smjenom

$y=x+1$

postaje

$y^3-4y=0$

Jednačina

$y^3+py+q=0$ smjenom

$y=u+v$

postaje

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$

Ovdje smo nepoznatu $y$ zamjenili sa 2 nove $u$ i $v$.

uvodimo novi uslov

$3uv=p$

pa je

$u^3+v^3=-q;uv=\frac{-p}{3}$

Iz

$y^3-4y=0$

dobijamo

$u^3+v^3=0;uv=\frac{4}{3}$

Sistem

$u^3+v^3=-q;uv=\frac{-p}{3}$ ekvivlentan je sa

$u^3+v^3=-q;u^3{v}^3=\frac{-p^3}{27}$

Iz kojeg dobijamo

$t^2+qt-\frac{-p^3}{27}$

za $t_1=u^{3}i{t}_2=v^3$

Njenim rješavanjem dobijamo

$t_1,2=-\frac{q}{27}\pm \sqrt{(\frac{q^2}{4})+\frac{p^3}{27}}$

Vračanjem druge smjene dobijamo

$y=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

IZ

$y^3-4y=0$

$p=-4iq=0$

pa je $y=0$

tj. jedno rješenje jednačine je

$y=x^3-3x^2-x+3$

$x=o$

Parovi (u,v) su rješenja sistema

$u^3+v^3=-q;uv=\frac{-p}{3}$

Iz jednačina

$u^3=t_{1}i{v}^3=t_2$

slijedi

$u_1={\sqrt[3]{t}}_1$,

$u_2=a{\sqrt[3]{t}}_1$,

$u_3=a^2{\sqrt[3]{t}}_1$

$v_1={\sqrt[3]{t}}_2$,

$v_2=a{\sqrt[3]{t}}_2$,

$v_3=a^2{\sqrt[3]{t}}_2$

gdje su treči korjeni jedinice

$a^0=1,a^1=\frac{1}{2}(-1+i\sqrt[3]{3}),a^2=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt[3]{3})$

Odnosno sva rješenja jednačine

$y^3+py+q=0$

data su formulom

$y_1={\sqrt[3]{t}}_1+{\sqrt[3]{t}}_2$,

$y_2=a{\sqrt[3]{t}}_1+a{\sqrt[3]{t}}_2$,

$y_3=a^2{\sqrt[3]{t}}_1+{\sqrt[3]{t}}_2$

koje se također nazivaju Kardanove formule.

U našem slučaju (za $D<0$) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj $D<0$) nazivamo nesvodljiv slučaj.

Za $p=$i $q=0$ imamo

$D=\frac{-64}{27}$

pa je $y=0$ i imamo 2 slučaja

$y_2=a{\sqrt[3]{t}}_1+a{\sqrt[3]{t}}_2$, $y_3=a^2{\sqrt[3]{t}}_1+{\sqrt[3]{t}}_2$

Iz ovoga je $t_1=-t_2$

$y_2=(a-a^2)\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-64}{27}}}$

$y_3=(a^2-a)\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-64}{27}}}$ =>

$y_2=(i\sqrt[3]{3})\frac{2i}{\sqrt[3]{3}}$

$y_3=(-i\sqrt[3]{3})\frac{2i}{\sqrt[3]{3}}$ =>

$y_2=2\wedge y_3=-2$

$x=y+1$ pa je rješenje polaznog primjera

$x_1=-1$

$x_2=1,$

$x_3=3$

Opšta rješenja

Opšte rješenje za svaku kubnu jednačinu

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

je

$\begin{array}{cc}{x}_1=& -\frac{b}{3a}\\ & -\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d+\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ & -\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d-\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ x_2=& -\frac{b}{3a}\\ & +\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d+\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ & +\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d-\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ x_3=& -\frac{b}{3a}\\ & +\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d+\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ & +\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d-\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\end{array}$

Izvor

Rešivost algebarskih jednačina Beograd 2011.